Производные высших порядков

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Рассмотрим функцию $y = f(x)$ , которая имеет конечную производную $f'(x)$ в некотором интервале $(a; b)$ , то есть производная $f'(x)$ также является функцией переменной $x$ в этом интервале. Если эта функция дифференцируема, то мы можем найти вторую производную исходной функции $y = f(x)$ :

$y''(x) = f''(x) = (f')' = \frac{d^2 f}{dx^2}$

То есть вторая производная есть первой производной от первой производной.

Аналогично, если производная $f''(x)$ существует и дифференцируема, то можно найти третью производную рассматриваемой функции:

$y'''(x) = f'''(x) = \frac{d^3 f}{dx^3} = (f'')'$

Таким образом, понятие производной $n$ -го порядка вводится индуктивно путем последовательного вычисления $n$ производных, начиная с производной первого порядка. Переход к производной следующего, более высокого порядка производится с помощью рекуррентной формулы:

$y^{(n)}(x) = \left( y^{(n-1)}(x) \right)'$

Замечание. Порядок производной, чтобы не путать с показателем степени, пишут в круглых скобках либо записывают римскими цифрами. Например, производная четвертого порядка

$y^{(4)} = y^{IV}$

При нахождении производных высшего порядка используются следующие соотношения:

$(u + v)^{(n)} = u^{(n)} + v^{(n)}$

$(cu)^{n} = cu^{n} \text{ },\text{ } c = \text{const}$

Примеры вычисления производных высших порядков

ПРИМЕР 1

Задание

Найти $y''$ функции $y(x) = x^2 - 3$

Решение

Вычислим первую производную заданной функции:

$y'(x) = \left( x^2 - 3 \right)' = \left( x^2 \right)' - (3)' = 2x - 0 =2x$

Вторая производная есть производная от первой производной, то есть

$y''(x) = (y'(x))' = (2x)' = 2 \cdot (x)' = 2 \cdot 1 = 2$

Ответ

$y''(x) = 2$

ПРИМЕР 2

Задание

Найти $n$ -ую производную функции $y(x) = \frac{1}{x}$

Решение

Для начала найдем несколько первых производных и постараемся установить закономерность:

$y'(x) = \left( \frac{1}{x}' \right) = \left( x^{-1} \right)' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2} = \frac{(-1) \cdot 1}{x^{1+1}} = \frac{(-1)^1 \cdot 1!}{x^{1 + 1}}$

$y''(x) = (y'(x))' = \left( -\frac{1}{x^2} \right)' = - \left( x^{-2} \right)' = -(-2)x^{-3} = \frac{2}{x^3} = \frac{(-1)^2 \cdot 1 \cdot 2}{x^{2+1}} = \frac{(-1)^2 \cdot 2!}{x^{2 + 1}}$

$y'''(x) = (y''(x))' = \left( \frac{2}{x^3} \right)' = 2 \cdot \left( x^{-3} \right)' = 2 \cdot (-3)x^{-4} = \frac{(-1^3) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3}{x^4} = \frac{(-1)^3 \cdot 3!}{x^{3 + 1}}$

$y^{4}(x) = (y'''(x))' = \left( -\frac{6}{x^3} \right)' = -6 \cdot \left( x^{-4} \right)' = -2 \cdot 3 \cdot (-4)x^{-5} = \frac{(-1)^4 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{x^5} =$

$= \frac{(-1)^4 \cdot 4!}{x^{4 + 1}}$

Обобщая полученные результаты, делаем вывод, что

$y^{(n)} = \left( \frac{1}{x} \right)^{(n)} = \frac{(-1)^n \cdot n!}{x^{n + 1}}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Производные высших порядков

Примеры вычисления производных высших порядков