Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производные высших порядков

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Рассмотрим функцию y = f(x) , которая имеет конечную производную f'(x) в некотором интервале (a; b) , то есть производная f'(x) также является функцией переменной x в этом интервале. Если эта функция дифференцируема, то мы можем найти вторую производную исходной функции y = f(x) :

    \[ y''(x) = f''(x) = (f')' = \frac{d^2 f}{dx^2} \]

То есть вторая производная есть первой производной от первой производной.

Аналогично, если производная f''(x) существует и дифференцируема, то можно найти третью производную рассматриваемой функции:

    \[ y'''(x) = f'''(x) = \frac{d^3 f}{dx^3} = (f'')' \]

Таким образом, понятие производной n-го порядка вводится индуктивно путем последовательного вычисления n производных, начиная с производной первого порядка. Переход к производной следующего, более высокого порядка производится с помощью рекуррентной формулы:

    \[ y^{(n)}(x) = \left( y^{(n-1)}(x) \right)' \]

Замечание. Порядок производной, чтобы не путать с показателем степени, пишут в круглых скобках либо записывают римскими цифрами. Например, производная четвертого порядка

    \[ y^{(4)} = y^{IV} \]

При нахождении производных высшего порядка используются следующие соотношения:

    \[ (u + v)^{(n)} = u^{(n)} + v^{(n)} \]

    \[ (cu)^{n} = cu^{n} \text{ },\text{ } c = \text{const} \]

Примеры вычисления производных высших порядков

ПРИМЕР 1
Задание Найти y'' функции y(x) = x^2 - 3
Решение Вычислим первую производную заданной функции:

    \[ 				y'(x) = \left( x^2 - 3 \right)' = \left( x^2 \right)' - (3)' = 2x - 0 =2x 				\]

Вторая производная есть производная от первой производной, то есть

    \[ 				y''(x) = (y'(x))' = (2x)' = 2 \cdot (x)' = 2 \cdot 1 = 2 				\]

Ответ y''(x) = 2
ПРИМЕР 2
Задание Найти n-ую производную функции y(x) = \frac{1}{x}
Решение Для начала найдем несколько первых производных и постараемся установить закономерность:

    \[ 				y'(x) = \left( \frac{1}{x}' \right) = \left( x^{-1} \right)' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2} = \frac{(-1) \cdot 1}{x^{1+1}} = \frac{(-1)^1 \cdot 1!}{x^{1 + 1}} 				\]

    \[ 				y''(x) = (y'(x))' = \left( -\frac{1}{x^2} \right)' = - \left( x^{-2} \right)' = -(-2)x^{-3} = \frac{2}{x^3} = \frac{(-1)^2 \cdot 1 \cdot 2}{x^{2+1}} = \frac{(-1)^2 \cdot 2!}{x^{2 + 1}} 				\]

    \[ 				y'''(x) = (y''(x))' = \left( \frac{2}{x^3} \right)' = 2 \cdot \left( x^{-3} \right)' = 2 \cdot (-3)x^{-4} = \frac{(-1^3) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3}{x^4} = \frac{(-1)^3 \cdot 3!}{x^{3 + 1}} 				\]

    \[ 				y^{4}(x) = (y'''(x))' = \left( -\frac{6}{x^3} \right)' = -6 \cdot \left( x^{-4} \right)' = -2 \cdot 3 \cdot (-4)x^{-5} = \frac{(-1)^4 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{x^5} = 				\]

    \[ 				= \frac{(-1)^4 \cdot 4!}{x^{4 + 1}} 				\]

Обобщая полученные результаты, делаем вывод, что

    \[ 				y^{(n)} = \left( \frac{1}{x} \right)^{(n)} = \frac{(-1)^n \cdot n!}{x^{n + 1}} 				\]

Ответ