Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Частные производные первого порядка

Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой окрестности точки M(x, y) . Придадим переменной x приращение \Delta x , оставляя при этом значение переменной y без изменения так, чтобы точка M_1(x + \Delta x, y) принадлежала этой окрестности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Величину \Delta_x z = f(x + \Delta x, y) - f(x, y) называют частным приращением функции f(x, y) по переменной x . Аналогично вводится частное приращение \Delta_y z этой функции по переменной y :

    \[ 	\Delta_y z = f(x, y + \Delta y) - f(x, y) 	\]

Если существует предел

    \[ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta_x z}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x} \]

то он называется частной производной функции f(x, y) в точке M(x, y) по переменной x и обозначается одним из следующих символов:

    \[ z_x' \text{ },\text{ } f_x' \text{ },\text{ } \frac{\partial z}{\partial x} \text{ },\text{ } \frac{\partial f}{\partial x} \]

Аналогично частная производная функции f(x, y) по переменной y определяется как предел

    \[ \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\Delta_y z}{\Delta y} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x, y + \Delta y) - f(x, y)}{\Delta y} \]

Она обозначается как z_y', f_y', \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial y} .

Согласно с определением, при нахождении частной производной z'_x находят обыкновенную производную функции одной переменной x , считая переменную y постоянной, а при нахождении производной z'_y постоянной считается переменная x .

Следовательно, частные производные находятся по формулам и правилам дифференцирования функции одной переменной.

Частная производная z'_x характеризует скорость изменения функции в направлении оси Ox, z'_y – в направлении оси Oy .

Выясним геометрический смысл частных производных функции двух переменных. Геометрическим образом (графиком) функции z = f(x, y) есть некоторая поверхность. Графиком функции z = f(x, y_0) является линия пересечения этой поверхности с плоскостью y = y_0 . Исходя из геометрического смысла производной функции одной переменной, получаем, что,

    \[ f'_x (x_0, y_0) = \text{tg} \alpha \]

где \alpha – угол между осью Ox и касательной, проведенной к пространственной кривой z = f(x, y_0) в точке M_0 (x_0, y_0, f(x_0, y_0)) . Аналогично, f'_y(x_0, y_0) = \text{tg} \beta , где \beta – угол между осью Oy и касательной, проведенной к пространственной кривой z = f(x_0, y)(линии пересечения поверхности z = f(x, y) с плоскостью x = x_0 ) в точке M_0 (x_0, y_0, f(x_0, y_0)) .

Для функции n переменных u = f(x_1, x_2, \ldots, x_n) можно найти n частных производных первого порядка:

    \[ \frac{\partial u}{\partial x_1}, \frac{\partial u}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial u}{\partial x_n} \]

Чтобы найти частную производную \frac{\partial u}{\partial x_i}, i = 1; 2; \ldots; n , необходимо взять обычную производную функции u = f(x_1, x_2, \ldots, x_n) по переменной x_i , считая остальные переменные константами.

Примеры вычисления частных производных первого порядка

ПРИМЕР 1
Задание Найти частные производные первого порядка по переменным x и y функции z = 3x^2y - \frac{x}{y^3} + 2x - 3y + 1 .
Решение Найдем частную производную z'_x . Для этого дифференцируем заданную функцию по переменной x , считая y постоянной величиною:

    \[ 				z_x' = \left( 3x^2y - \frac{x}{y^3} + 2x - 3y + 1 \right)'_x = (3x^2y)'_x - \left( \frac{x}{y^3} \right)'_x + 2(x)'_x - 3(y)'_x + (1)'_x = 				\]

    \[ 				= 3y(x^2)'_x - \frac{1}{y^3}(x)'_x + 2 \cdot 1 - 3 \cdot 0 + 0 = 6xy - \frac{1}{y^3} \cdot 1 + 2 				\]

То есть

    \[ 				z_x' = 6xy - \frac{1}{y^3} + 2 				\]

Находим теперь производную z_y' , для этого дифференцируем заданную функцию z = 3x^2y - \frac{x}{y^3} + 2x - 3y + 1 по y , при этом переменная x считается константой:

    \[ 				z_y' = 3x^2 + \frac{3x}{y^4} - 3 				\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти частные производные первого порядка функции

    \[ 				z = \arcsin \frac{y}{x} 				\]

Решение Найдем первую частную производную по переменной x . При дифференцировании вторая переменная y будет считаться константой:

    \[ 				z_x' = \left( \arcsin \frac{y}{x} \right)'_x = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{y}{x} \right)^2}} \cdot \left( \frac{y}{x} \right)'_x = \frac{x}{\sqrt{x^2 - y^2}} \cdot y \cdot \left(\frac{1}{x} \right)'_x = 				\]

    \[ 				= \frac{xy}{\sqrt{x^2 - y^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2} \right) = -\frac{y}{x \sqrt{x^2 - y^2}} 				\]

Аналогично

    \[ 				z_y' = \left( \arcsin \frac{y}{x} \right)'_y = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{y}{x} \right)^2}} \cdot \left( \frac{y}{x} \right)'_y = \frac{x}{\sqrt{x^2 - y^2}} \cdot \frac{1}{x} \cdot (y)'_y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - y^2}} 				\]

Ответ