Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Правила дифференцирования

К основным правилам дифференцирования относят:

1. Вынесение постоянного множителя за знак производной:

    \[    (C \cdot f(x))' = C \cdot (f(x))'    \]

То есть константу можно выносить за знак производной.

ПРИМЕР
Задание Найти производную функции y = 3 \cos x
Решение Продифференцируем заданную функцию:

    \[ 				y' = (3 \cos x)' 				\]

Согласно правилу вынесения константы за знак производной, последнее равенство можно записать в виде:

    \[ 				y' = 3 \cdot (\cos x)' 				\]

По таблице производных находим, что

    \[ 				(\cos x)' = -\sin x 				\]

Тогда получаем:

    \[ 				y' = 3 \cdot (\cos x)' = 3 \cdot (-\sin x) = -3 \sin x 				\]

Ответ y' = -3 \sin x

2. Производная суммы, производная разности:

    \[    (f(x) + g(x))' = (f(x))' + (g(x))'    \]

Производная суммы двух функций равна сумме производных от каждой из них.

Замечание. Это правило распространяется и на большее число функций.

Производная разности

    \[    (f(x) - g(x))' = (f(x))' - (g(x))'    \]

равна разности производных от каждой из них.

ПРИМЕР
Задание Найти производную функции y(x) = x^2 + x -3
Решение Искомая производная

    \[ 				y'(x) = \left( x^2 + x -3 \right)' 				\]

Согласно правилу, производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных от каждой из них:

    \[ 				y'(x) = \left( x^2 \right)' + (x)' - (3)' = 2x + 1 - 0 = 2x + 1 				\]

Ответ y'(x) = 2x + 1

3. Производная произведения:

    \[    (f(x) \cdot g(x))' = (f(x))' \cdot g(x) + f(x) \cdot (g(x))'    \]

Производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

ПРИМЕР
Задание Найти производную функции y(x) = x^2 \arcsin x
Решение Искомая производная

    \[ 				y'(x) = \left( x^2 \arcsin x \right)' 				\]

Согласно правилу дифференцирования произведения, имеем:

    \[ 				y'(x) = \left( x^2 \right)' \cdot \arcsin x + x^2 \cdot (\arcsin x)' = 2x \arcsin x + x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = 				\]

    \[ 				= 2x \arcsin x + \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} 				\]

Ответ

4. Производная дроби (производная частного двух функций):

    \[    \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{(f(x))' \cdot g(x) - f(x) \cdot (g(x))'}{(g(x))^2} \text{ },\text{ } g(x) \ne 0    \]

Итак, производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя.

ПРИМЕР
Задание Найти производную функции

    \[ 				y(x) = \frac{\sin x}{2x + 1} 				\]

Решение Искомая производная равна:

    \[ 				y'(x) = \left( \frac{\sin x}{2x +1} \right)' 				\]

Исходная функция представляет собой отношение двух функций: f(x) = \sin x и g(x) = 2x +1 . Применим правило дифференцирования дроби:

    \[ 				y'(x) = \frac{(\sin x)' \cdot (2x + 1) - \sin x \cdot (2x + 1)'}{(2x + 1)^2} 				\]

Применяя таблицу производных и правило дифференцирования суммы двух функций, получаем:

    \[ 				y'(x) = \frac{\cos x \cdot (2x + 1) - \sin x \cdot \left[ (2x)' + (1)' \right]}{(2x + 1)^2} 				\]

Константу выносим за знак производной:

    \[ 				y'(x) = \frac{(2x + 1) \cos x - \sin x \cdot \left[ 2 \cdot (x)' + 0 \right]}{(2x + 1)^2} = \frac{(2x + 1) \cos x - \sin x \cdot 2 \cdot 1}{(2x + 1)^2} = 				\]

    \[ 				= \frac{(2x + 1) \cos x - 2 \sin x}{(2x + 1)^2} 				\]

Ответ