Правила дифференцирования

К основным правилам дифференцирования относят:

1. Вынесение постоянного множителя за знак производной:

$(C \cdot f(x))' = C \cdot (f(x))'$

То есть константу можно выносить за знак производной.

ПРИМЕР

Задание

Найти производную функции $y = 3 \cos x$

Решение

Продифференцируем заданную функцию:

$y' = (3 \cos x)'$

Согласно правилу вынесения константы за знак производной, последнее равенство можно записать в виде:

$y' = 3 \cdot (\cos x)'$

По таблице производных находим, что

$(\cos x)' = -\sin x$

Тогда получаем:

$y' = 3 \cdot (\cos x)' = 3 \cdot (-\sin x) = -3 \sin x$

Ответ

$y' = -3 \sin x$

2. Производная суммы, производная разности:

$(f(x) + g(x))' = (f(x))' + (g(x))'$

Производная суммы двух функций равна сумме производных от каждой из них.

Замечание. Это правило распространяется и на большее число функций.

Производная разности

$(f(x) - g(x))' = (f(x))' - (g(x))'$

равна разности производных от каждой из них.

ПРИМЕР

Задание

Найти производную функции $y(x) = x^2 + x -3$

Решение

Искомая производная

$y'(x) = \left( x^2 + x -3 \right)'$

Согласно правилу, производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных от каждой из них:

$y'(x) = \left( x^2 \right)' + (x)' - (3)' = 2x + 1 - 0 = 2x + 1$

Ответ

$y'(x) = 2x + 1$

3. Производная произведения:

$(f(x) \cdot g(x))' = (f(x))' \cdot g(x) + f(x) \cdot (g(x))'$

Производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

ПРИМЕР

Задание

Найти производную функции $y(x) = x^2 \arcsin x$

Решение

Искомая производная

$y'(x) = \left( x^2 \arcsin x \right)'$

Согласно правилу дифференцирования произведения, имеем:

$y'(x) = \left( x^2 \right)' \cdot \arcsin x + x^2 \cdot (\arcsin x)' = 2x \arcsin x + x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} =$

$= 2x \arcsin x + \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$

Ответ

4. Производная дроби (производная частного двух функций):

$\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{(f(x))' \cdot g(x) - f(x) \cdot (g(x))'}{(g(x))^2} \text{ },\text{ } g(x) \ne 0$

Итак, производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя.

ПРИМЕР

Задание

Найти производную функции

$y(x) = \frac{\sin x}{2x + 1}$

Решение

Искомая производная равна:

$y'(x) = \left( \frac{\sin x}{2x +1} \right)'$

Исходная функция представляет собой отношение двух функций: $f(x) = \sin x$ и $g(x) = 2x +1 .$ Применим правило дифференцирования дроби:

$y'(x) = \frac{(\sin x)' \cdot (2x + 1) - \sin x \cdot (2x + 1)'}{(2x + 1)^2}$

Применяя таблицу производных и правило дифференцирования суммы двух функций, получаем:

$y'(x) = \frac{\cos x \cdot (2x + 1) - \sin x \cdot \left[ (2x)' + (1)' \right]}{(2x + 1)^2}$

Константу выносим за знак производной:

$y'(x) = \frac{(2x + 1) \cos x - \sin x \cdot \left[ 2 \cdot (x)' + 0 \right]}{(2x + 1)^2} = \frac{(2x + 1) \cos x - \sin x \cdot 2 \cdot 1}{(2x + 1)^2} =$

$= \frac{(2x + 1) \cos x - 2 \sin x}{(2x + 1)^2}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Правила дифференцирования