Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Правила нахождения производных

Рассмотрим функции u = u(x) и v = v(x) , которые являются дифференцируемыми в точке x (то есть имеют производную в этой точке). Тогда для нахождения производных используют следующие правила.

1. Производная (c \cdot u(x))' произведения константы c на некоторую функцию u(x) равна произведению этой константы на производную от заданной функции, то есть константа выносится за знак производной:

    \[     (c \cdot u(x))' = c \cdot (u(x))'     \]

ПРИМЕР
Задание Найти производную функции y = 2x^{14}
Решение Искомая производная равна:

    \[ 				y' = \left( 2x^{14} \right)' 				\]

Константу 2 выносим за знак производной:

    \[ 				y' = \left( 2x^{14} \right)' = 2 \cdot \left( x^{14} \right)' 				\]

Производную от x^{14} берем как производную от степенной функции по формуле \left( x^n \right)' = nx^{n-1} :

    \[ 				y' = 2 \cdot \left( x^{14} \right)' = 2 \cdot 14x^{13} = 28x^{13} 				\]

Ответ y' = 28x^{13}

2. Производная суммы/разности двух функций равна сумме/разности производных от каждой их них:

    \[    (u \pm v)' = (u)' \pm (v)'    \]

Замечание. Это свойство справедливо и для большего, чем два, числа функций.

ПРИМЕР
Задание Найти производную функции y(x) = x^2 + 3x
Решение Продифференцируем заданную функцию:

    \[ 				y'(x) = \left( x^2 + 3x \right)' 				\]

Производная суммы двух функция равна сумме производных от каждой из них:

    \[ 				y'(x) = \left( x^2 \right)' + (3x)' 				\]

Производную первого слагаемого находим как производную степенной функции. Для нахождения производной второго слагаемого вначале константу вынесем за знак производной, а затем воспользуемся тем фактом, что производная независимой переменной равна единице:

    \[ 				y'(x) = 2x + 3 \cdot (x)' = 2x + 3 \cdot 1 = 2x +3 				\]

Ответ y'(x) = 2x +3
Замечание. Первые два правила можно объединить в одно свойство линейности:

    \[    (c_1 f_1 \pm c_2 f_2 \pm \ldots \pm c_n f_n)' = c_1 \cdot (f_1)' \pm c_2 \cdot (f_2)' \pm \ldots \pm c_n \cdot (f_n)'    \]

3. Производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую и первой функции на производную второй:

    \[    (u \cdot v)' = (u)' \cdot v + u \cdot (v)'    \]

ПРИМЕР
Задание Найти производную функции y = x \sin x
Решение Искомая производная

    \[ 				y' = (x \sin x)' 				\]

Под знаком производной находится произведение двух функций u = x и v = \sin x . Тогда, согласно правилу дифференцирования произведения, имеем:

    \[ 				y' = (x)' \cdot \sin x + x \cdot (\sin x)' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x 				\]

Ответ y' = \sin x + x \cos x

4. Производная частного двух функций равна отношению разности произведений производной числителя на знаменатель и числителя на производную знаменателя и квадрата исходного знаменателя, то есть

    \[    \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}    \]

ПРИМЕР
Задание Найти производную функции

    \[ 				y = \frac{x + 1}{x - 2} 				\]

Решение Искомая производная

    \[ 				y' = \left( \frac{x + 1}{x - 2} \right)' 				\]

Таким образом, нам необходимо найти производную отношения двух функций u = x +1 и v = x - 2 :

    \[ 				y' = \frac{(x + 1)' \cdot (x - 2) - (x + 1) \cdot (x - 2)'}{(x - 2)^2} 				\]

Производная суммы/разности равна сумме/разности производных, тогда

    \[ 				y' = \frac{\left[ (x)' + (1)' \right] \cdot (x - 2) - (x + 1) \cdot \left[ (x)' - (2)' \right]}{(x - 2)^2} = \frac{(1 + 0) \cdot (x - 2) - (x + 1) \cdot (1 - 0)}{(x - 2)^2} = 				\]

    \[ 				= \frac{x - 2- (x + 1)}{(x - 2)^2} = -\frac{3}{(x - 2)^2} 				\]

Ответ