Правила нахождения производных
Рассмотрим функции и которые являются дифференцируемыми в точке (то есть имеют производную в этой точке). Тогда для нахождения производных используют следующие правила.
1. Производная произведения константы на некоторую функцию равна произведению этой константы на производную от заданной функции, то есть константа выносится за знак производной:
Задание | Найти производную функции |
Решение | Искомая производная равна:
Константу 2 выносим за знак производной:
Производную от берем как производную от степенной функции по формуле
|
Ответ |
2. Производная суммы/разности двух функций равна сумме/разности производных от каждой их них:
Замечание. Это свойство справедливо и для большего, чем два, числа функций.
Задание | Найти производную функции |
Решение | Продифференцируем заданную функцию:
Производная суммы двух функция равна сумме производных от каждой из них:
Производную первого слагаемого находим как производную степенной функции. Для нахождения производной второго слагаемого вначале константу вынесем за знак производной, а затем воспользуемся тем фактом, что производная независимой переменной равна единице:
|
Ответ |
3. Производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую и первой функции на производную второй:
Задание | Найти производную функции |
Решение | Искомая производная
Под знаком производной находится произведение двух функций и . Тогда, согласно правилу дифференцирования произведения, имеем:
|
Ответ |
4. Производная частного двух функций равна отношению разности произведений производной числителя на знаменатель и числителя на производную знаменателя и квадрата исходного знаменателя, то есть
Задание | Найти производную функции
|
Решение | Искомая производная
Таким образом, нам необходимо найти производную отношения двух функций и
Производная суммы/разности равна сумме/разности производных, тогда
|
Ответ |