Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная частного

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная частного равна разности произведения производной числителя на знаменатель и произведения числителя на производную знаменателя, деленной на квадрат знаменателя.

    \[    \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^{2}} \]

Надо запомнить, что производная частного двух функций НЕ РАВНА частному производных от каждой из них.

Примеры решения задач по теме «Производная частного»

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную функции y(x) = \frac{\ln x}{x}
Решение Искомая производная

    \[    y'(x) = \left( \frac{\ln x}{x} \right)' \]

Согласно формуле «производная частного», имеем:

    \[    y'(x) = \left( \frac{\ln x}{x} \right)' = \frac{\left( \ln x \right)' \cdot x - \ln x \cdot \left( x \right)'}{\left( x \right)^{2}} \]

Найдем производные, стоящие в числителе последней дроби. Производная логарифма натурального

    \[    \left( \ln x \right)' = \frac{1}{x} \]

а производная независимой переменной

    \[    \left( x \right)' = 1 \]

Тогда имеем:

    \[    y'(x) = \frac{\left( \ln x \right)' \cdot x - \ln x \cdot \left( x \right)'}{\left( x \right)^{2}} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^{2}} = \frac{1 - \ln x}{x^{2}} \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти производную функции y(x) = \frac{x}{\sin x}
Решение Искомая производная

    \[    y'(x) = \left( \frac{x}{\sin x} \right)' \]

Согласно формуле имеем:

    \[    y'(x) = \left( \frac{x}{\sin x} \right)' = \frac{\left( x \right)' \cdot \sin x - x \cdot \left( \sin x \right)'}{\left( \sin x \right)^{2}} \]

Производная \left( x \right)' независимой переменной равна единице, а производная синуса равна косинусу того же аргумента:

    \[    \left( x \right)' = 1 \]

    \[    \left( \sin x \right)' = \cos x \]

Таким образом, имеем:

    \[    y'(x) = \frac{\left( x \right)' \cdot \sin x - x \cdot \left( \sin x \right)'}{\left( \sin x \right)^{2}} = \frac{1 \cdot \sin x - x \cdot \cos x}{\sin^{2} x } = \frac{\sin x - x \cos x}{\sin ^{2}x} \]

Ответ