Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная суммы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная суммы равна сумме производных от каждого слагаемого.

    \[    \left( u+v \right)' = \left( u \right)' + \left( v \right)' \]

Данная формула распространяется и на большее число слагаемых. Например, для трех слагаемых она принимает вид:

    \[    \left( u+v+w \right)' = \left( u \right)' + \left( v \right)' + \left( w \right)' \]

Примеры решения задач по теме «Производная суммы»

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную функции y(x) = x^{2}+3x+1
Решение Продифференцируем заданную функцию:

    \[    y'(x) = \left( x^{2}+3x+1 \right)' \]

Производная от суммы равна сумме производных от каждого из слагаемых, то есть получаем:

    \[    y'(x) = \left( x^{2}+3x+1 \right)' = \left( x^{2} \right)' + \left( 3x \right)' + \left( 1 \right)' \]

Производную первого слагаемого найдем как производную степенной функции по формуле \left( x^{n} \right)' = n x^{n-1} . Тогда имеем:

    \[    \left( x^{2} \right)' = 2 x^{2-1}= 2x \]

Найдем производную от второго слагаемого \left( 3x \right)'. Вначале по свойствам производной вынесем константу 3 за знак производной:

    \[    \left( 3x \right)' = 3 \cdot \left( x \right)' \]

Производная независимой переменной x равна единице:

    \[    \left( 3x \right)' = 3 \cdot \left( x \right)' = 3 \cdot 1 = 3 \]

Производная третьего слагаемого, как константы, равна нулю:

    \[    \left( 1 \right)' = 0 \]

Итак, окончательно имеем, что производная заданной функции равна:

    \[    y'(x) = \left( x^{2} \right)' + \left( 3x \right)' + \left( 1 \right)' = 2x+3+0=2x+3 \]

Ответ y'(x) =2x+3
ПРИМЕР 2
Задание Найти производную функции y(x) = x + \cos x
Решение Искомая производная равна:

    \[    y'(x) = \left( x + \cos x \right)' \]

Производная суммы равна сумме производных, то есть

    \[    y'(x) = \left( x + \cos x \right)' = \left( x \right)' + \left( \cos x \right)' \]

Производная первого слагаемого, как производная независимой переменной, равна единице:

    \[    \left( x \right)' = 1 \]

Производная косинуса равна минус синусу, то есть:

    \[    \left( \cos x \right)' = - \sin x \]

Тогда

    \[    y'(x) = \left( x \right)' + \left( \cos x \right)' = 1 + \left( -\sin x \right) = 1 - \sin x \]

Ответ y'(x) = 1 - \sin x