Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная икс

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная независимой переменной x (икс) равна единице.

    \[    (x)' = 1 \]

Функцией называют такое соответствие между двумя переменными, когда каждому значению одной переменной отвечает единственное значение другой. Первую переменную называют независимой переменной или аргументом функции, а вторую – зависимой переменной или функцией от первой (независимой) переменной.

Примеры решения задач по теме «Производная икс»

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную функции y(x) = 2x+3
Решение Искомая производная

    \[    y'(x) = \left( 2x+3 \right)' \]

Производная суммы равна сумме производных от каждого из слагаемых, то есть:

    \[    y'(x) = \left( 2x+3 \right)' = \left( 2x \right)' + \left( 3 \right)' \]

Найдем производную первого слагаемого. По правилам дифференцирования, константа выносится за знак производной:

    \[    \left( 2x \right)' = 2 \cdot \left( x \right)' \]

Производная от x (независимой переменной) равна единице, то есть:

    \[    \left( 2x \right)' = 2 \cdot \left( x \right)' = 2 \cdot 1 = 2 \]

Производная второго слагаемого – тройки – равна 0 (как производная от константы):

    \[    \left( 3 \right)' = 0 \]

Таким образом,

    \[    y'(x) = \left( 2x \right)' + \left( 3 \right)' = 2+0=2 \]

Ответ y'(x)=2
ПРИМЕР 2
Задание Найти производную функции y(x) = e^{2}-\sin 3x
Решение Искомая производная

    \[    y'(x) = \left( e^{2}-\sin 3x \right)'  \]

По правилу дифференцирования, производная разности равна разности производных, то есть имеем:

    \[    y'(x) = \left( e^{2}-\sin 3x \right)' =  \left( e^{2} \right)' - \left( \sin 3x \right)'  \]

Первое выражение e^{2} является константой, так как оно не зависит от x, а тогда его производная равна нулю:

    \[    y'(x) = \left( e^{2} \right)' = 0 \]

Производная от синуса равна косинусу того же аргумента: \left( \sin x \right)' = \cos x . Но так как в нашем случае аргумент является сложной функцией (он состоит не только из независимой переменной x, но еще содержит множитель 2), то производную синуса мы еще должны умножить на производную от его аргумента. Итак, имеем:

    \[    \left( \sin 3x \right)' = \cos 3x \cdot \left( 3x \right)' \]

Согласно правилам дифференцирования, константа выносится за знак производной:

    \[    \left( \sin 3x \right)' = \cos 3x \cdot \left( 3x \right)' = 3 \cos 3x \cdot \left( x \right)' \]

Производная от x, как от независимой переменной, равна единице. Тогда окончательно имеем, что производная \sin 3x равна:

    \[    \left( \sin 3x \right)' = 3 \cos 3x \cdot 1 = 3 \cos 3x \]

Таким образом, искомая производная

    \[    y'(x) = \left( e^{2} \right)' - \left( \sin 3x \right)' = 0 - 3 \cos 3x = - 3 \cos 3x \]

Ответ y'(x) = - 3 \cos 3x