Производная косинуса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная косинуса икс равна минус синус икс.

$\left( \cos x \right)' = -\sin x$

Для запоминания этой формулы существует мнемоническое правило:

Синий косяк (производная синуса равна косинусу)
Косяк – синий (производная косинуса равна минус синусу)

Примеры решения задач по теме «Производная косинуса»

ПРИМЕР 1

Задание

Найти производную функции $y(x) = -5 \cos (3x-7)$

Решение

Искомая производная

$y'(x) = \left( -5 \cos (3x-7) \right)'$

Выносим константу $(- 5)$ за знак производной:

$y'(x) = \left( -5 \cos (3x-7) \right)' = -5 \cdot \left( \cos (3x-7) \right)'$

Производная от косинуса равна минус синусу такого же аргумента, и так как аргумент есть более сложное выражение, чем просто $x$ , то умножаем еще все на производную от аргумента. То есть имеем:

$y'(x) = -5 \cdot \left( \cos (3x-7) \right)' = -5 \cdot \left( -\sin (3x-7) \right) \cdot \left( 3x-7 \right)' = 5 \sin (3x-7) \cdot \left( 3x-7 \right)'$

Производная разности равна разности производных:

$y'(x) = 5 \sin (3x-7) \cdot \left[ \left( 3x \right)' - \left( 7 \right)' \right]$

С первой производной по правилу дифференцирования выносим тройку за знак производной, а производная от 7 равна нулю как производная константы:

$y'(x) = 5 \sin (3x-7) \cdot \left[ 3 \cdot \left( x \right)' - 0 \right] = 15 \sin (3x-7) \cdot \left( x \right)'$

Производная независимой переменной $x$ равна единице, поэтому окончательно имеем, что

$y'(x) = 15 \sin (3x-7) \cdot 1 = 15 \sin (3x-7)$

Ответ

$y'(x) = 15 \sin (3x-7)$

ПРИМЕР 2

Задание

Найти производную функции $y(x) = \ln \cos x$

Решение

Искомая производная

$y'(x) = \left( \ln \cos x \right)'$

Производная натурального логарифма равна единице деленной на подлогарифмическую функцию: $\left( \ln x \right)' = \frac{1}{x}$ . Так как подлогарифмическая функция представляет собой выражение более сложное, ем просто $x$ , то домнажаем еще и на ее производную, то есть: