Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная косинуса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная косинуса икс равна минус синус икс.

    \[    \left( \cos x \right)' = -\sin x \]

Для запоминания этой формулы существует мнемоническое правило:

Синий косяк (производная синуса равна косинусу)
Косяк – синий (производная косинуса равна минус синусу)

Примеры решения задач по теме «Производная косинуса»

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную функции y(x) = -5 \cos (3x-7)
Решение Искомая производная

    \[    y'(x) = \left( -5 \cos (3x-7) \right)' \]

Выносим константу (- 5) за знак производной:

    \[    y'(x) = \left( -5 \cos (3x-7) \right)' = -5 \cdot \left( \cos (3x-7) \right)' \]

Производная от косинуса равна минус синусу такого же аргумента, и так как аргумент есть более сложное выражение, чем просто x, то умножаем еще все на производную от аргумента. То есть имеем:

    \[    y'(x) = -5 \cdot \left( \cos (3x-7) \right)' = -5 \cdot \left( -\sin (3x-7) \right) \cdot \left( 3x-7 \right)' = 5 \sin (3x-7) \cdot \left( 3x-7 \right)' \]

Производная разности равна разности производных:

    \[    y'(x) = 5 \sin (3x-7) \cdot \left[ \left( 3x \right)' - \left( 7 \right)' \right] \]

С первой производной по правилу дифференцирования выносим тройку за знак производной, а производная от 7 равна нулю как производная константы:

    \[    y'(x) = 5 \sin (3x-7) \cdot \left[ 3 \cdot \left( x \right)' - 0 \right] = 15 \sin (3x-7) \cdot \left( x \right)' \]

Производная независимой переменной x равна единице, поэтому окончательно имеем, что

    \[    y'(x) = 15 \sin (3x-7) \cdot 1 = 15 \sin (3x-7) \]

Ответ y'(x) = 15 \sin (3x-7)
ПРИМЕР 2
Задание Найти производную функции y(x) = \ln \cos x
Решение Искомая производная

    \[    y'(x) = \left( \ln \cos x \right)' \]

Производная натурального логарифма равна единице деленной на подлогарифмическую функцию: \left( \ln x \right)' = \frac{1}{x} . Так как подлогарифмическая функция представляет собой выражение более сложное, ем просто x, то домнажаем еще и на ее производную, то есть:

    \[    y'(x) = \left( \ln \cos x \right)' = \frac{1}{\cos x} \cdot \left( \cos x \right)' \]

Производная косинуса равна минус синусу:

    \[    y'(x) = \left( \ln \cos x \right)' = \frac{1}{\cos x} \cdot \left( -\sin x \right) = -\frac{\sin x}{\cos x} \]

По тригонометрическим формулам отношение синуса к косинусу равно тангенсу:

    \[    y'(x) = - \text{tg} x \]

Ответ y'(x) = - \text{tg} x