Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Свойства производных

Пусть функции u = u(x) и v = v(x) являются дифференцируемыми, c_1 и c_2 – произвольные константы. Тогда имеют место следующие соотношения:

1. Линейность:

    \[    (c_1u \pm c_2v)' = c_1 \cdot u' \pm c_2 \cdot v'    \]

ПРИМЕР
(2x^2 - 3 \sin x)' = 2 \cdot (x^2)' - 3 \cdot (\sin x)'

2. Производная произведения:

    \[    (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'    \]

ПРИМЕР
(\sin x \cdot \arcsin x)' = (\sin x)' \cdot \arcsin x + \sin x \cdot (\arcsin x)'

3. Производная частного:

    \[    \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \text{ },\text{ } v \ne 0    \]

ПРИМЕР

4. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

    \[    (c \cdot u)' = c \cdot u'    \]

ПРИМЕР
(2 \text{ tg }x)' = 2 \cdot (\text{tg }x)'

5. Производная сложной функции: если задана функция y = f(u) , у которой аргумент есть в свою очередь функцией от x: u = g(x) , то производная y'(x) равна:

    \[    y'(x) = y'(u) \cdot u'(x)    \]

ПРИМЕР
\left( \overbrace{\cos \underbrace{(2x - 3)}_{u(x)}}^{y(u)} \right)' \bigg| \bigg|(\cos x)' = -\sin x \bigg| \bigg| = -\sin (2x - 3) \cdot (2x - 3)'

6. Производная обратной функции: если функция x(y), является обратной к функции y(x) , то их производные связаны соотношением:

    \[    y'(x) = \frac{1}{x'(y)}    \]

ПРИМЕР
Рассмотрим функцию y = \arcsin x , обратной к ней есть функция x(y) = \sin y . Найдем производные:

    \[ 				y'(x) = (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} 				\]

    \[ 				\frac{1}{x'(y)} = \frac{1}{(\sin y)'} = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 y}} ||y = \arcsin x|| = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2(\arcsin x)}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} 				\]

то есть

    \[ 				y'(x) = \frac{1}{x'(y)} 				\]