Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная произведения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная произведения равна производной первого сомножителя умноженной на второй плюс первый сомножитель умноженный на производную второго.

    \[    \left( u \cdot v \right)' = \left( u \right)' \cdot v + u \cdot \left( v \right)' \]

Стоит запомнить, что производная произведения НЕ РАВНА произведению производных.

Примеры решения задач по теме «Производная произведения»

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную функции y(x) = (x+1) \ln x
Решение Искомая производная

    \[    y'(x) = \left( (x+1) \ln x\right)' \]

Таким образом, надо найти производную произведения двух функций u(x)=x+1 и v(x) = \ln x. Тогда по формуле имеем:

    \[    y'(x) = \left( (x+1) \ln x\right)' = \left( x+1 \right)' \cdot \ln x + (x+1) \cdot \left( \ln x\right)' \]

Найдем производную функции u(x)=x+1, то есть \left( x+1 \right)'. Так как производная суммы равна сумме производных, то получаем:

    \[    \left( x+1 \right)' = \left( x \right)' + \left( 1 \right)' \]

Производная независимой переменной x равна единице:

    \[    \left( x \right)' = 1 \]

а производная единицы, как константы, равна нулю:

    \[    \left( 1 \right)' = 0 \]

То есть

    \[    \left( x+1 \right)' = \left( x \right)' + \left( 1 \right)' = 1+0=1 \]

Производная от натурального логарифма равна единице деленной на подлогарифмическую функцию:

    \[    v'(x) = \left( \ln x \right)' = \frac{1}{x} \]

Итак,

    \[    y'(x)  = \left( x+1 \right)' \cdot \ln x + (x+1) \cdot \left( \ln x\right)' = 1 \cdot \ln x + (x+1) \cdot \frac{1}{x} = \ln x + \frac{x+1}{x} \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти производную функции y(x) = x e^{x}
Решение Искомая производная равна:

    \[    y'(x) = \left( x e^{x} \right)' \]

Применяем формулу «производная произведения» \left( u \cdot v \right)' = \left( u \right)' \cdot v + u \cdot \left( v \right)'. Получаем:

    \[    y'(x) = \left( x e^{x} \right)' = \left( x \right)' \cdot e^{x} + x \cdot \left( e^{x} \right)' \]

Производная независимой переменной x равна единице:

    \[    \left( x \right)' = 1 \]

Производная экспоненты равна этой же функции:

    \[    \left( e^{x} \right)' = e^{x} \]

Таким образом,

    \[    y'(x) = \left( x \right)' \cdot e^{x} + x \cdot \left( e^{x} \right)' = 1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x} = (x+1)e^{x} \]

Ответ y'(x) = (x+1)e^{x}