Производная сложной функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции.

$\left( u \left( v(x) \right) \right)' = u'(v) \cdot v'(x)$

В формуле функция $u(v)$ называется внешней, а функция $v(x)$ – внутренней

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Найти производную функции $y(x) = \cos (2x+1)$

Решение

Искомая производная

$y'(x) = \left( \cos (2x+1) \right)'$

Функция, производную которой ищем, является сложной. В данном случае внешняя функция $u(v) = \cos x$ , а внутренняя функция $v(x) = 2x+1$ . Тогда производная внешней функции (производная косинуса)

$u'(v) = \left( \cos v \right)' = - \sin v$

Производная внутренней функции:

$v'(x) = \left( 2x+1 \right)'$

Производная суммы равна сумме производных:

$v'(x) = \left( 2x+1 \right)' = \left( 2x \right)' + \left( 1 \right)'$

В первом слагаемом вынесем константу 2 за знак производной, а производная второго слагаемого – единицы – равна нулю, как производная константы:

$v'(x) = \left( 2x \right)' + \left( 1 \right)' = 2 \cdot \left( x \right)' + 0 = 2 \cdot \left( x \right)'$

Производная независимой переменной равна единице:

$v'(x) = 2 \cdot \left( x \right)' = 2$

Таким образом, согласно формуле производной сложной функции $\left( u \left( v(x) \right) \right)' = u'(v) \cdot v'(x)$ , имеем, что

$y'(x) = \left( \cos (2x+1) \right)' = - \sin v \cdot 2 = -2 \sin v = -2 \sin (2x+1)$

Ответ

$y'(x) = -2 \sin (2x+1)$

ПРИМЕР 2

Задание

Найти производную функции $y(x) = (3-x)^{2}$

Решение

Искомая производная

$y'(x) = \left( (3-x)^{2} \right)'$

В данном случае внешней функцией есть функция $u(v) = v^{2}$ , где внутренняя функция $v(x)=3-x$ . Тогда, согласно формуле $\left( u \left( v(x) \right) \right)' = u'(v) \cdot v'(x)$ , получаем, что