Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная сложной функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции.

    \[    \left( u \left( v(x) \right) \right)' = u'(v) \cdot v'(x) \]

В формуле функция u(v) называется внешней, а функция v(x) – внутренней

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную функции y(x) = \cos (2x+1)
Решение Искомая производная

    \[    y'(x) = \left( \cos (2x+1) \right)' \]

Функция, производную которой ищем, является сложной. В данном случае внешняя функция u(v) = \cos x, а внутренняя функция v(x) = 2x+1. Тогда производная внешней функции (производная косинуса)

    \[    u'(v) = \left( \cos v \right)' = - \sin v \]

Производная внутренней функции:

    \[    v'(x) = \left( 2x+1 \right)' \]

Производная суммы равна сумме производных:

    \[    v'(x) = \left( 2x+1 \right)' = \left( 2x \right)' + \left( 1 \right)' \]

В первом слагаемом вынесем константу 2 за знак производной, а производная второго слагаемого – единицы – равна нулю, как производная константы:

    \[    v'(x) = \left( 2x \right)' + \left( 1 \right)' = 2 \cdot \left( x \right)' + 0 = 2 \cdot \left( x \right)' \]

Производная независимой переменной равна единице:

    \[    v'(x) = 2 \cdot \left( x \right)' = 2 \]

Таким образом, согласно формуле производной сложной функции \left( u \left( v(x) \right) \right)' = u'(v) \cdot v'(x), имеем, что

    \[    y'(x) = \left( \cos (2x+1) \right)' = - \sin v \cdot 2 = -2 \sin v = -2 \sin (2x+1) \]

Ответ y'(x) = -2 \sin (2x+1)
ПРИМЕР 2
Задание Найти производную функции y(x) = (3-x)^{2}
Решение Искомая производная

    \[    y'(x) = \left( (3-x)^{2} \right)' \]

В данном случае внешней функцией есть функция u(v) = v^{2}, где внутренняя функция v(x)=3-x. Тогда, согласно формуле \left( u \left( v(x) \right) \right)' = u'(v) \cdot v'(x), получаем, что

    \[    y'(x) = \left( (3-x)^{2} \right)' = \left( v^{2} \right)' \cdot \left( 3-x \right)' \]

Производную первого множителя найдем по формуле производной степенной функции:

    \[    \left( x^{n} \right)' = n x^{n-1} \]

Тогда

    \[    u'(v) = \left( v^{2} \right)' = 2v^{2-1} = 2v = 2(3-x) \]

Находим производную внутренней функции (3-x)'. Производная разности равна разности производных:

    \[    \left( 3-x \right)' = \left( 3 \right)' - \left( x \right)' \]

Производная тройки, как константы, равна нулю:

    \[    \left( 3 \right)' = 0 \]

Производная независимой переменной равна единице:

    \[    \left( x \right)' = 1 \]

То есть

    \[    \left( 3-x \right)' = \left( 3 \right)' - \left( x \right)' = 0-1=-1 \]

Таким образом,

    \[    y'(x) = \left( v^{2} \right)' \cdot \left( 3-x \right)' = 2(3-x) \cdot (-1) = -2(3-x)=2(x-3) \]

Ответ y'(x) =2(x-3)