Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная степенной функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная от степенной функции x^{n} равна произведению показателя степени n на икс в степени на единицу меньше.

    \[    \left( x^{n} \right)' = n x^{n-1} \]

Приведенная формула справедлива для любого показателя степени n , будь то натуральное число 1, 2, 3 \ldots ; отрицательное число -1, -2, -3 \ldots или дробное число, к примеру \frac{1}{2}, - \frac{4}{5} и т.п.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную функции

    \[    y(x) = x^{6} - \frac{3}{x^{2}} + \sqrt[3]{x^{4}}-2 \]

Решение Искомая производная

    \[    y'(x) = \left( x^{6} - \frac{3}{x^{2}} + \sqrt[3]{x^{4}}-2 \right)' \]

Производная от суммы или разности функция равна сумме или разности их производных, то есть

    \[    y'(x) = \left( x^{6} \right)' - \left( \frac{3}{x^{2}} \right)' + \left( \sqrt[3]{x^{4}} \right)' - \left( 2 \right)' \]

Производную от x^{6} найдем как производную от степенной функции:

    \[    \left( x^{6} \right)' = 6 \cdot x^{6-1} = 6x^{5} \]

Для нахождения производной одночлена \frac{3}{x^{2}} вначале константу вынесем за знак производной:

    \[    \left( \frac{3}{x^{2}} \right)' = 3 \cdot \left( \frac{1}{x^{2}} \right)' \]

Далее дробь \frac{1}{x^{2}} представим как степень с отрицательным показателем по свойству \frac{1}{x^{n}} = x^{-n} :

    \[    \left( \frac{3}{x^{2}} \right)' = 3 \cdot \left( \frac{1}{x^{2}} \right)' = 3 \cdot \left( x^{-2} \right)' \]

Далее производную находим как от степенной функции:

    \[    \left( \frac{3}{x^{2}} \right)' = 3 \cdot \left( x^{-2} \right)' = 3 \cdot (-2) \cdot x^{-2-1} = -6x^{-3} = -6 \cdot \frac{1}{x^{3}} = -\frac{6}{x^{3}} \]

Для нахождения производной \left( \sqrt[3]{x^{4}} \right)' запишем корень в виде степени с дробным показателем:

    \[    \left( \sqrt[3]{x^{4}} \right)' = \left( x^{\frac{4}{3}} \right)' \]

Далее производную находим как от степенной функции:

    \[    \left( \sqrt[3]{x^{4}} \right)' = \left( x^{\frac{4}{3}} \right)' = \frac{4}{3} \cdot x^{\frac{4}{3} - 1} = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} \]

Записываем дробную степень в виде корня:

    \[    \left( \sqrt[3]{x^{4}} \right)'  = \frac{4}{3} \sqrt[3]{x} \]

Производная от двойки, как от константы, равна нулю:

    \[    \left( 2 \right)' = 0 \]

Итак, окончательно имеем:

    \[    y'(x) = 6x^{5} - \left( - \frac{6}{x^{3}} \right) +  \frac{4}{3} \sqrt[3]{x} - 0 = 6x^{5} + \frac{6}{x^{3}} + \frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти производную функции y(x)=\left( 2x+7 \right)^{3}
Решение Искомая производная

    \[    y'(x) = \left( \left( 2x+7 \right)^{3} \right)' \]

Данную производную находим как производную от степенной функции, но так как основание степени 2x+7 является сложной функцией (отличается от просто x), то нужно еще умножить на производную от основания:

    \[    y'(x) = \left( \left( 2x+7 \right)^{3} \right)' = 3 \cdot \left( 2x+7 \right)^{3-1} \cdot \left( 2x+7 \right)' = 3 \cdot \left( 2x+7 \right)^{2} \cdot \left( 2x+7 \right)' \]

Найдем отдельно оставшуюся производную. Производная о суммы равна сумме производных:

    \[    \left( 2x+7 \right)' = \left( 2x \right)' + \left( 7 \right)' \]

Из первого слагаемого вынесем константу за знак производной, а производная от второго, как от константы, равна нулю:

    \[    \left( 2x+7 \right)' = \left( 2x \right)' + \left( 7 \right)' = 2 \cdot \left( x \right)' + 0 = 2 \cdot \left( x \right)' \]

Производная от x равна единице:

    \[    \left( 2x+7 \right)' = 2 \cdot \left( x \right)' = 2 \cdot 1 = 2 \]

Таким образом, производная заданной функции

    \[    y'(x)  = 3 \left( 2x+7 \right)^{2} \cdot \left( 2x+7 \right)' = 3 \left( 2x+7 \right)^{2} \cdot 2 = 6 \left( 2x+7 \right)^{2} \]

Ответ y'(x) = 6 \left( 2x+7 \right)^{2}