Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная числа умноженного на икс

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная произведения некоторого числа на независимую переменную x равна этому числу.

    \[    (cx)' = c \]

Эту формулу легко получить с помощью правила дифференцирования, которое гласит, что константу можно выносить за знак производной, и того факта, что производная независимой переменной x равна единице:

    \[    (cx)' = c \cdot \left( x \right)' = c \cdot 1 = c \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную функции y(x) = 2x-17
Решение Искомая производная равна:

    \[    y'(x) = \left( 2x-17 \right)' \]

Производная разности функций равна разности производных от каждой из функций:

    \[    y'(x) = \left( 2x-17 \right)' = \left( 2x \right)' - \left( 17 \right)' \]

Производная от 2x равна, как производная от константы умноженной на x, этой константе, то есть двойке:

    \[    \left( 2x \right)' = 2 \]

Производная от числа 17 (константы) равна нулю:

    \[    \left( 17 \right)' = 0 \]

Тогда,

    \[    y'(x) = \left( 2x \right)' - \left( 17 \right)' = 2-0=2 \]

Ответ y'(x)=2
ПРИМЕР 2
Задание Найти производную функции y(x) = \sqrt{4x+1}
Решение Искомая производная

    \[    y'(x) = \left( \sqrt{4x+1} \right)' \]

Производная от корня равна единице деленной на два таких же корня: \left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2 \sqrt{x}} . Так как подкоренное выражение есть сложной функцией (оно отлично от просто x), то производную корня нужно умножить на производную от подкоренного выражения, то есть:

    \[    y'(x) = \left( \sqrt{4x+1} \right)' = \frac{1}{2 \sqrt{4x+1}} \cdot \left( 4x+1 \right)'  \]

Производная от суммы двух функций равна сумме производных от каждого из слагаемых:

    \[    y'(x) =  \frac{1}{2 \sqrt{4x+1}} \cdot \left[ \left( 4x \right)' + \left(1 \right)' \right] \]

Производная от слагаемого 4x, которое представляет собой произведение константы 4 на независимую переменную x, равно этой константе, то есть четвертке:

    \[    \left( 4x \right)' = 4 \]

Производная от единицы, как от константы, равна нулю:

    \[    \left( 1 \right)' = 0 \]

Тогда

    \[    y'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{4x+1}} \cdot \left[ \left( 4x \right)' + \left(1 \right)' \right] = \frac{1}{2 \sqrt{4x+1}} \cdot \left( 4+0 \right) = \frac{1}{2 \sqrt{4x+1}} \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{4x+1}} \]

Ответ