Производная числа умноженного на икс

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная произведения некоторого числа на независимую переменную $x$ равна этому числу.

$(cx)' = c$

Эту формулу легко получить с помощью правила дифференцирования, которое гласит, что константу можно выносить за знак производной, и того факта, что производная независимой переменной $x$ равна единице:

$(cx)' = c \cdot \left( x \right)' = c \cdot 1 = c$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Найти производную функции $y(x) = 2x-17$

Решение

Искомая производная равна:

$y'(x) = \left( 2x-17 \right)'$

Производная разности функций равна разности производных от каждой из функций:

$y'(x) = \left( 2x-17 \right)' = \left( 2x \right)' - \left( 17 \right)'$

Производная от $2x$ равна, как производная от константы умноженной на $x$ , этой константе, то есть двойке:

$\left( 2x \right)' = 2$

Производная от числа 17 (константы) равна нулю:

$\left( 17 \right)' = 0$

Тогда,

$y'(x) = \left( 2x \right)' - \left( 17 \right)' = 2-0=2$

Ответ

$y'(x)=2$

ПРИМЕР 2

Задание

Найти производную функции $y(x) = \sqrt{4x+1}$

Решение

Искомая производная

$y'(x) = \left( \sqrt{4x+1} \right)'$

Производная от корня равна единице деленной на два таких же корня: $\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ . Так как подкоренное выражение есть сложной функцией (оно отлично от просто $x$ ), то производную корня нужно умножить на производную от подкоренного выражения, то есть:

$y'(x) = \left( \sqrt{4x+1} \right)' = \frac{1}{2 \sqrt{4x+1}} \cdot \left( 4x+1 \right)'$

Производная от суммы двух функций равна сумме производных от каждого из слагаемых:

$y'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{4x+1}} \cdot \left[ \left( 4x \right)' + \left(1 \right)' \right]$

Производная от слагаемого $4x$ , которое представляет собой произведение константы 4 на независимую переменную $x$ , равно этой константе, то есть четвертке:

$\left( 4x \right)' = 4$

Производная от единицы, как от константы, равна нулю:

$\left( 1 \right)' = 0$

Тогда

$y'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{4x+1}} \cdot \left[ \left( 4x \right)' + \left(1 \right)' \right] = \frac{1}{2 \sqrt{4x+1}} \cdot \left( 4+0 \right) = \frac{1}{2 \sqrt{4x+1}} \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{4x+1}}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Производная числа умноженного на икс

Примеры решения задач