Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формулы дифференцирования функций

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Процесс нахождения производной называется дифференцированием. То есть дифференцирование – вычисление производных и дифференциалов любого порядка от функции одного переменного и частных производных и дифференциалов, а также полных дифференциалов от функций многих переменных.

Далее разобраны основные правила и формулы дифференцирования функций:

Формулы дифференцирования функций

Правила дифференцирования:

Константу можно выносить за знак производной:

    \[{{\left( c\cdot u\left( x \right) \right)}^{\prime }}=c\cdot {u}'\left( x \right)\]

Производная суммы равна сумме производных:

    \[{{\left( u\left( x \right)\pm v\left( x \right) \right)}^{\prime }}={u}'\left( x \right)\pm {v}'\left( x \right)\]

Производная произведения равна сумме произведений производной первого слагаемого на второе и первого слагаемого на производную второго:

    \[{{\left( u\left( x \right)\cdot v\left( x \right) \right)}^{\prime }}={u}'\left( x \right)v\left( x \right)+u\left( x \right){v}'\left( x \right)\]

Производная частного находится по формуле:

    \[{{\left( \frac{u\left( x \right)}{v\left( x \right)} \right)}^{\prime }}=\frac{{u}'\left( x \right)v\left( x \right)-u\left( x \right){v}'\left( x \right)}{{{v}^{2}}\left( x \right)},\ v\left( x \right)\ne 0\]

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную функции

    \[ y\left( x \right)=\frac{\sin x}{x}+2\sqrt{x+1}+2 \]

Решение Используя правила дифференцирования и таблицу производных, имеем:

    \[{y}'\left( x \right)={{\left( \frac{\sin x}{x}+2\sqrt{x+1}+2 \right)}^{\prime }}={{\left( \frac{\sin x}{x} \right)}^{\prime }}+{{\left( 2\sqrt{x+1} \right)}^{\prime }}+{{\left( 2 \right)}^{\prime }}=\]

    \[=\frac{{{\left( \sin x \right)}^{\prime }}\cdot x-\sin x\cdot {{\left( x \right)}^{\prime }}}{{{\left( x \right)}^{2}}}+2\cdot {{\left( \sqrt{x+1} \right)}^{\prime }}+0=\frac{\cos x\cdot x-\sin x\cdot 1}{{{x}^{2}}}+2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot {{\left( x+1 \right)}^{\prime }}=\]

    \[=\frac{x\cos x-\sin x}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}\cdot {{\left( 1+0 \right)}^{\prime }}=\frac{x\cos x-\sin x}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти производную функции y=6-2x+{{x}^{4}}-\cos x+3\sqrt{x}
Решение Продифференцируем заданное выражение:

    \[{y}'={{\left( 6-2x+{{x}^{4}}-\cos x+3\sqrt{x} \right)}^{\prime }}\]

Производная суммы/разности равна сумме/разности производных, таким образом, можем записать:

    \[{y}'={{\left( 6 \right)}^{\prime }}-{{\left( 2x \right)}^{\prime }}+{{\left( {{x}^{4}} \right)}^{\prime }}-{{\left( \cos x \right)}^{\prime }}+{{\left( 3\sqrt{x} \right)}^{\prime }}\]

Используя свойства дифференцирования и таблицу производных, получаем:

    \[{y}'=0-2\cdot 1+4{{x}^{4-1}}-\left( -\sin x \right)+3\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=-2+4{{x}^{3}}+\sin x+\frac{3}{2\sqrt{x}}\]

Ответ {y}'=-2+4{{x}^{3}}+\sin x+\frac{3}{2\sqrt{x}}