Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Полный дифференциал функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Полным приращением функции u = f(x, y, z) называется разность \Delta u = f(x + \Delta x, y + \Delta y, z + \Delta z) - f(x, y, z) .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Главная часть полного приращения функции u = f(x, y, z) , которая линейно зависит от приращений независимых переменных \Delta x, \Delta y и \Delta z , называется полным дифференциалом функции u = f(x,y,z) и обозначается du .

Если функция имеет непрерывные частные производные, то полный дифференциал определяется формулой:

    \[ du = d_xu + d_yu + d_zu \]

или, что то же самое:

    \[ du = u'_xd_x + u'_yd_y + u'_zd_z \]

где d_xu, d_yu, d_zuчастные дифференциалы заданной функции по соответствующей переменной.

ПРИМЕР
Задание Найти полный дифференциал функции

    \[ 				z = \ln \left( x + \sqrt{x^2 + y^2} \right) -3  				\]

Решение Находим частные производные функции по каждой из переменных:

    \[ 				\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \left( 1 + \frac{1}{2 \sqrt{x^2 + y^2}} \cdot 2x \right) - 0 = 				\]

    \[ 				= \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + y^2} + x}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} 				\]

    \[ 				\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \left( 1 + \frac{1}{2 \sqrt{x^2 + y^2}} \cdot 2y \right) - 0 = 				\]

    \[ 				= \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + y^2} + y}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{\sqrt{x^2 + y^2} + y}{\sqrt{x^2 + y^2} \left( x + \sqrt{x^2 + y^2}\right)} 				\]

Тогда искомый дифференциал

    \[ 				dz = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}dx + \frac{\sqrt{x^2 + y^2} + y}{\sqrt{x^2 + y^2} \left( x + \sqrt{x^2 + y^2}\right)}dy = 				\]

    \[ 				= \frac{dx}{\sqrt{x^2 + y^2}} + \frac{\left( \sqrt{x^2 + y^2} + y \right) dy}{\sqrt{x^2 + y^2} \left( x + \sqrt{x^2 + y^2}\right)}  				\]

Ответ