Дифференциал параметрической функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если функция $y = y(x)$ задана в виде $\begin{cases} x = x(t)\\ y = y(t) \end{cases},$ где $t$ – параметр, то говорят, что эта функция задана параметрически.

Чтобы найти дифференциал $dy$ этой функции, необходимо вначале найти ее производную

$y'(x) = \frac{y'_t}{x'_t}$

,а затем подставить полученное выражение в формулу для дифференциала $dy = y'(x)dx .$

ПРИМЕР

Задание

Найти дифференциал функции $y = y(x) ,$ заданной параметрически

$\begin{cases} x(t) = t^2\\ y(t) = t^3 \end{cases}$

Решение

Находим производную заданной функции $y = y(x) :$

$y'_t = \left( t^3 \right)'_t = 3t^2 \text{ }\text{ },\text{ }\text{ } x'(t) = \left( t^2 \right)'_t = 2t$

Тогда

$y'(x) = \frac{y'_t}{x'_t} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}$

Отсюда, дифференциал

$dy = y'(x)dx = \frac{3t}{2} \cdot d \left( t^2 \right) = \frac{3t}{2} \cdot 2tdt = 3t^2 dt$

Ответ

$dy = 3t^2 dt$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!