Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Дифференциал функции нескольких переменных

Пусть функция z = f(x, y) определена в некоторой окрестности точки M(x, y) . Выберем приращения \Delta x и \Delta y так, чтобы точка M_1(x + \Delta x, y + \Delta y) также принадлежала указанной окрестности и найдем полное приращение функции в точке M(x, y) :

    \[ \Delta z = f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y) \]

Функцию двух переменных f(x, y) называют дифференцируемой в точке M(x, y) , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде:

    \[ \Delta z = A \cdot \Delta x + B \cdot \Delta y + \alpha \cdot \Delta x + \beta \cdot \Delta y \text{\qquad(1)} \]

где A и B – числа, независящие от приращений независимых аргументов \Delta x и \Delta y, \alpha = \alpha (\Delta x, \Delta y) и \beta = \beta (\Delta x, \Delta y) – бесконечно малые функции при \Delta x \to 0 \text{ },\text{ } \Delta y \to 0.

Полное приращение \Delta z функции z = f(x, y) можно записать по формуле (1).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Полным дифференциалом dz дифференцируемой в точке M(x, y) функции z = f(x, y) называют линейную относительно приращений \Delta x и \Delta y часть полного приращения этой функции в точке M :

    \[ 	dz = A \cdot \Delta x + B \cdot \Delta y 	\]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дифференциалами независимых переменных x и y будем называть приращения этих переменных, то есть

    \[ 	dx = \Delta x \text{ },\text{ } dy = \Delta y 	\]

С учетом этого, полный дифференциал функции z = f(x, y) задается формулой:

    \[ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy \]

Аналогичная формула имеет место и для дифференцируемой функции трех переменных u = f(x, y, z) :

    \[ du = \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy + \frac{\partial u}{\partial z}dz \]

Примеры вычисления дифференциалов функций

ПРИМЕР 1
Задание Найти полный дифференциал функции z = x^3 y^2
Решение Найдем частные производные z'_x та z'_y . Для заданной функции будем иметь:

    \[ 				z'_x = 3x^2y^2 \text{ },\text{ } z'_y = 2x^3y 				\]

Тогда полный дифференциал dz имеет вид:

    \[ 				dz = 3x^2y^2dx + 2x^3ydy 				\]

Ответ dz = 3x^2y^2dx + 2x^3ydy
ПРИМЕР 2
Задание Вычислить полный дифференциал функции z в точке M(1, 2)

    \[ 				z = \frac{x^2}{y} 				\]

Решение Частные производные заданной функции

    \[ 				z'_x = \frac{2x}{y} \text{ },\text{ } z'_y = -\frac{x^2}{y^2} 				\]

Их значение в заданной точке M :

    \[ 				z'_x (1, 2) = \frac{2 \cdot 1}{2} = 1 \text{ },\text{ } z'_y (1, 2) = -\frac{1^2}{2^2} = -\frac{1}{4} 				\]

А тогда искомый дифференциал

    \[ 				dz = z'_x dx + z'_y dy = dx - \frac{dy}{4} 				\]

Ответ dz(M) = dx - \frac{dy}{4}