Дифференциал функции нескольких переменных

Пусть функция $z = f(x, y)$ определена в некоторой окрестности точки $M(x, y) .$ Выберем приращения $\Delta x$ и $\Delta y$ так, чтобы точка $M_1(x + \Delta x, y + \Delta y)$ также принадлежала указанной окрестности и найдем полное приращение функции в точке $M(x, y) :$

$\Delta z = f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y)$

Функцию двух переменных $f(x, y)$ называют дифференцируемой в точке $M(x, y) ,$ если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде:

$\Delta z = A \cdot \Delta x + B \cdot \Delta y + \alpha \cdot \Delta x + \beta \cdot \Delta y \text{\qquad(1)}$

где $A$ и $B$ – числа, независящие от приращений независимых аргументов $\Delta x$ и $\Delta y, \alpha = \alpha (\Delta x, \Delta y)$ и $\beta = \beta (\Delta x, \Delta y)$ – бесконечно малые функции при $\Delta x \to 0 \text{ },\text{ } \Delta y \to 0$ .

Полное приращение $\Delta z$ функции $z = f(x, y)$ можно записать по формуле (1).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Полным дифференциалом $dz$ дифференцируемой в точке $M(x, y)$ функции $z = f(x, y)$ называют линейную относительно приращений $\Delta x$ и $\Delta y$ часть полного приращения этой функции в точке $M :$

$dz = A \cdot \Delta x + B \cdot \Delta y$