Дифференциал неявной функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если независимая переменная $x$ и функция $y = y(x)$ связаны уравнением $F(x ; y(x)) = 0 ,$ которое нельзя разрешить относительно $y(x) ,$ то говорят, что функция $y = y(x)$ задана неявно.

По определению дифференциал функции $y = y(x)$ равен

$dy = y'(x)dx$

То есть вначале надо найти производную заданной неявно функции $y(x) ,$ а затем подставить ее в последнее соотношение.

Чтобы найти указанную производную, необходимо продифференцировать обе части уравнения $F(x ; y(x)) = 0$ и из полученного равенства выразить производную $y'(x) .$

Отметим, что при дифференцировании надо не забывать, что $y$ не является независимой переменной, а есть функция от $x ,$ поэтому производную от нее надо находить как от сложной функции.

Примеры вычисления дифференциалов неявных функций

ПРИМЕР 1

Задание

Найти дифференциал $dy$ функции $y = y(x) ,$ заданной неявно уравнением $y^2 + x \ln y = 0$

Решение

Дифференцируем левую и правую части заданного равенства:

$(y^2 + x \ln y)' = (0)'$

Согласно свойствам производной, производная суммы равна сумме производных. Тогда имеем:

$(y^2)' + (x \ln y)' = 0$

Применяем правило дифференцирования произведения:

$2y \cdot y' + (x)' \cdot \ln y + x \cdot (\ln y)' = 0$

$2y \cdot y' + 1 \cdot \ln y + x \cdot \ln y \cdot y' = 0$

$2y \cdot y' + \ln y + x \cdot \ln y \cdot y' = 0$

Из последнего равенства находим производную $y'$ :

$(2y + x \ln y) \cdot y' = -\ln y \text{ } \Rightarrow \text{ } y' = -\frac{\ln y}{2y + x \ln y}$

Итак, искомый дифференциал

$dy = y'dx = -\frac{\ln y}{2y + x \ln y}dx$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Найти дифференциал функции $y = y(x) ,$ заданной неявно: $\ln xy + x^2 = 1$

Решение

Вначале по свойствам логарифмов упростим выражение. Известно, что логарифм произведения равен сумме логарифмов от каждого из сомножителей, то есть имеем:

$\ln x + \ln y + x^2 = 1$

Дифференцируем левую и правую части последнего равенства:

$\left( \ln x + \ln y + x^2 \right)' = (1)'$

Производная суммы равна сумме производных, а также производная константы равна нулю. Тогда получаем:

$(\ln x)' + (\ln y)' + (x^2)' = 0$

Находим записанные производные и производную от $y$ находим как производную сложной функции:

$\frac{1}{x} + \frac{y'}{y} + 2x = 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } \frac{y'}{y} = - \left( 2x + \frac{1}{x} \right) \text{ } \Rightarrow \text{ } y' = -y \cdot \frac{2x^2 + 1}{x} = - \frac{y(2x^2 + 1)}{x}$

А тогда искомый дифференциал

$dy = y'dx = - \frac{y(2x^2 + 1)}{x} dx$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Дифференциал неявной функции

Примеры вычисления дифференциалов неявных функций