Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Дифференциал неявной функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если независимая переменная x и функция y = y(x) связаны уравнением F(x ; y(x)) = 0 , которое нельзя разрешить относительно y(x) , то говорят, что функция y = y(x) задана неявно.

По определению дифференциал функции y = y(x) равен

    \[ dy = y'(x)dx \]

То есть вначале надо найти производную заданной неявно функции y(x) , а затем подставить ее в последнее соотношение.

Чтобы найти указанную производную, необходимо продифференцировать обе части уравнения F(x ; y(x)) = 0 и из полученного равенства выразить производную y'(x) .

Отметим, что при дифференцировании надо не забывать, что y не является независимой переменной, а есть функция от x , поэтому производную от нее надо находить как от сложной функции.

Примеры вычисления дифференциалов неявных функций

ПРИМЕР 1
Задание Найти дифференциал dy функции y = y(x) , заданной неявно уравнением y^2 + x \ln y = 0
Решение Дифференцируем левую и правую части заданного равенства:

    \[ 				(y^2 + x \ln y)' = (0)' 				\]

Согласно свойствам производной, производная суммы равна сумме производных. Тогда имеем:

    \[ 				(y^2)' + (x \ln y)' = 0 				\]

Применяем правило дифференцирования произведения:

    \[ 				2y \cdot y' + (x)' \cdot \ln y + x \cdot (\ln y)' = 0 				\]

    \[ 				2y \cdot y' + 1 \cdot \ln y + x \cdot \ln y \cdot y' = 0 				\]

    \[ 				2y \cdot y' + \ln y + x \cdot \ln y \cdot y' = 0 				\]

Из последнего равенства находим производную y' :

    \[ 				(2y + x \ln y) \cdot y' = -\ln y \text{ } \Rightarrow \text{ } y' = -\frac{\ln y}{2y + x \ln y} 				\]

Итак, искомый дифференциал

    \[ 				dy = y'dx = -\frac{\ln y}{2y + x \ln y}dx 				\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти дифференциал функции y = y(x) , заданной неявно: \ln xy + x^2 = 1
Решение Вначале по свойствам логарифмов упростим выражение. Известно, что логарифм произведения равен сумме логарифмов от каждого из сомножителей, то есть имеем:

    \[ 				\ln x + \ln y + x^2 = 1 				\]

Дифференцируем левую и правую части последнего равенства:

    \[ 				\left( \ln x + \ln y + x^2 \right)' = (1)' 				\]

Производная суммы равна сумме производных, а также производная константы равна нулю. Тогда получаем:

    \[ 				(\ln x)' + (\ln y)' + (x^2)' = 0 				\]

Находим записанные производные и производную от y находим как производную сложной функции:

    \[ 				\frac{1}{x} + \frac{y'}{y} + 2x = 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } \frac{y'}{y} = - \left( 2x + \frac{1}{x} \right) \text{ } \Rightarrow \text{ } y' = -y \cdot \frac{2x^2 + 1}{x} = - \frac{y(2x^2 + 1)}{x} 				\]

А тогда искомый дифференциал

    \[ 				dy = y'dx = - \frac{y(2x^2 + 1)}{x} dx 				\]

Ответ