Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная неявной функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если функция y = y(x) задана уравнением F(x; y(x)) = 0 , то говорят, что она задана неявно.

Для нахождения производной y'(x) неявно заданной функции нет необходимости преобразовывать ее в явную форму (и это не всегда возможно сделать). Для этого, зная уравнение F(x; y) = 0 , достаточно выполнить следующие действия:

  1. Сначала необходимо продифференцировать обе части уравнения по независимой переменной x , предполагая, что y – это дифференцируемая по x функция. Для нахождения производной y используется правило вычисления производной от сложной функции. В правой части равенства получаем 0, как производную от константы.

    Замечание. Если правая часть отлична от нуля, то есть неявное уравнение имеет вид f(x; y) = g(x; y) , то функцию g(x; y) следует перенести влево и свести исходное уравнение к виду

        \[     f(x; y) - g(x; y) = F(x; y) = 0     \]

  2. Решить полученное уравнение относительно производной y'(x) .

Примеры вычисления производных неявных функций

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную от функции 3x^2 y^2 - 5x = 3y - 1 , заданной неявно.
Решение Перенесем выражение 3y - 1 , стоящее в правой части равенства, в левую часть:

    \[ 				3x^2 y^2 - 5x - 3y + 1 = 0 				\]

Далее дифференцируем левую и правую часть последнего равенства:

    \[ 				\left( 3x^2 y^2 - 5x - 3y + 1 \right)' = (0)' 				\]

Используя свойство линейности производной, получим:

    \[ 				3 \cdot \left( x^2 y^2 \right)' - 5 \cdot (x)' - 3 \cdot (y)' + (1)' = 0 				\]

Первое слагаемое дифференцируем как произведение:

    \[ 				(uv)' = (u)'v + u \cdot (v)' 				\]

при этом считаем, что y есть функция от x , поэтому производную от него находим как производную от сложной функции:

    \[ 				(u(v))' = u'(v) \cdot v' 				\]

Будем иметь:

    \[ 				3 \cdot \left(x^2 y^2 \right)' = 3 \cdot \left[ \left( x^2 \right)' \cdot y^2 + x^2 \cdot \left( y^2 \right)' \right] = 3 \cdot \left[ 2x \cdot y^2 + x^2 \cdot 2y \cdot (y)' \right] = 6xy^2 + 6x^2 yy' 				\]

Было учтено, что (y)' = y' .

Итак, для заданной функции имеем:

    \[ 				6xy^2 + 6x^2 yy' - 5 \cdot 1 - 3 \cdot y' + 0 = 0  				\]

Решаем полученное уравнение относительно функции y' :

    \[ 				\left( 6x^2 y - 3 \right) \cdot y' = 5 - 6xy^2 \text{ } \Rightarrow \text{ } y' = \frac{5 - 6xy^2}{6x^2 y - 3} 				\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти производную от функции 3x^4 y^5 + e^{7x - 4y} - 4x^5 - 2y^4 = 0 , заданной неявно.
Решение Дифференцируем левую и правую части заданного равенства:

    \[ 				\left( 3x^4 y^5 + e^{7x - 4y} - 4x^5 - 2y^4 \right)' = (0)' 				\]

Производная от суммы/разности функций равна сумме/разности производных, а также константу можно выносить за знак производной:

    \[ 				3 \cdot \left( x^4 y^5 \right)' + \left( e^{7x - 4y} \right)' - 4 \cdot \left( x^5 \right)' - 2 \cdot \left( y^4 \right)' = 0 				\]

Находим производную каждого слагаемого в левой части последнего равенства:

    \[ 				3 \cdot \left[ \left( x^4 \right)' \cdot y^5 + x^4 \cdot \left( y^5 \right)' \right] + e^{7x - 4y} \cdot (7x - 4y)' - 4 \cdot 5x^4 - 2 \cdot 4y^3 \cdot (y)' = 0  				\]

    \[ 				3 \cdot \left[ 4x^3 y^5 + x^4 \cdot 5y^4 (y)' \right] + e^{7x - 4y} \cdot \left[7 \cdot (x)' - 4 \cdot (y)' \right] - 20x^4 - 8y^3 y' = 0  				\]

    \[ 				12x^3 y^5 +15x^4y^4 y' + e^{7x - 4y} \cdot \left(7 \cdot 1 - 4y' \right) - 20x^4 - 8y^3 y' = 0  				\]

    \[ 				12x^3 y^5 +15x^4y^4 y' + 7e^{7x - 4y} - 4e^{7x - 4y} y' - 20x^4 - 8y^3 y' = 0 				\]

Разрешаем полученное равенство относительно искомой производной y' :

    \[ 				\left( 15x^4 y^4 - 4e^{7x - 4y} - 8y^3 \right) y' = 20x^4 - 7e^{7x - 4y} - 12x^3 y^5 				\]

Отсюда

    \[ 				y' = \frac{20x^4 - 7e^{7x - 4y} - 12x^3 y^5}{15x^4 y^4 - 4e^{7x - 4y} - 8y^3} 				\]

Ответ