Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Дифференциал второго порядка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть задана функция y = f(x) .

Дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом называется дифференциал первого порядка от дифференциала первого порядка заданной функции и обозначается через d^2y :

    \[ 	d^2y = d(dy) 	\]

Для вычисления дифференциала второго порядка применяется формула:

    \[ 	d^2y = f''(x)dx^2 	\]

ПРИМЕР 1
Задание Найти дифференциал второго функции y(x) = x^2 + \arccos x
Решение По определению второй дифференциал равен

    \[ 				d^2y = y''(x) dx^2 				\]

Найдем вторую производную заданной функции. Для этого вначале продифференцируем ее по переменной x :

    \[ 				y'(x) = \left( x^2 + \arccos x \right)' = \left(x^2 \right)' + (\arccos x)' = 2x - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} 				\]

Вторая производная заданной функции:

    \[ 				y''(x) = (y'(x))' = \left( 2x - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right)' = (2x)' - \left( \left(1 - x^2 \right)^{-\frac{1}{2}} \right)' =  				\]

    \[ 				= 2 \cdot (x)' - \left( -\frac{1}{2} \right) \left( 1 - x^2 \right)^{-\frac{3}{2}} \left( 1 - x^2 \right)' =  				\]

    \[ 				= 2 \cdot 1 + \frac{1}{2 \sqrt{(1 - x^2)^3}} \left[ (1)' - (x^2)' \right] = 2 + \frac{1}{2 \sqrt{(1 - x^2)^3}} (0 - 2x) =  				\]

    \[ 				= 2+ \frac{-2x}{2 \sqrt{(1 - x^2)^3}} = 2 - \frac{x}{\sqrt{(1 - x^2)^3}} 				\]

Тогда искомый дифференциал второго порядка заданной функции

    \[ 				d^2y = \left( 2 - \frac{x}{\sqrt{(1 - x^2)^3}} \right) dx^2 				\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти дифференциал второго порядка d^2y функции y(x) , заданной неявно: xy + y^2 = 1
Решение Найдем первый дифференциал dy :

    \[ 				d(xy + y^2) = d(1) 				\]

Согласно свойствам дифференциалов, дифференциал суммы равен суме дифференциалов, а дифференциал константы – нулю:

    \[ 				d(xy) + d(y^2) = 0 				\]

По свойствам расписываем дифференциал произведения:

    \[ 				d(x) \cdot y + x \cdot dy + 2ydy = 0 				\]

    \[ 				ydx + xdy + 2ydy = 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } dy = -\frac{ydx}{x + 2y} 				\]

Далее находим второй дифференциал d^2y . Это есть дифференциал первого порядка от дифференциала первого порядка:

    \[ 				d^2y = d(dy) = d \left( -\frac{ydx}{x + 2y} \right) 				\]

Расписываем дифференциал частного по соответствующему свойству:

    \[ 				d^2y = d \left( -\frac{ydx}{x + 2y} \right) = d \left( \frac{-y}{x + 2y} \right) dx = \frac{d(-y) \cdot (x + 2y) - (-y) \cdot d(x + 2y)}{(x + 2y)^2}dx =  				\]

    \[ 				= \frac{-dy \cdot (x + 2y) + y \cdot [d(x) + d(2y)]}{(x + 2y)^2}dx = \frac{-\frac{-ydx}{x + 2y} \cdot (x + 2y) + y \cdot (dx + 2dy)}{(x + 2y)^2}dx =  				\]

    \[ 				= \frac{ydx + ydx + 2ydy}{(x + 2y)^2}dx = \frac{2ydx + 2y \cdot \frac{-ydx}{x + 2y}}{(x + 2y)^2}dx =  \frac{2y(x + 2y) - 2y^2}{(x + 2y)^3}(dx)^2 = 				\]

    \[ 				= \frac{2xy + 4y^2 - 2y^2}{(x + 2y)^3}dx^2 = \frac{2xy + 2y^2}{(x + 2y)^3}dx^2 = 				\]

    \[ 				= \frac{2 \left(\overbrace{xy + y^2}^{=1} \right)}{(x + 2y)^3}dx^2 =  \frac{2dx^2}{(x + 2y)^3} 				\]

Ответ