Дифференциал второго порядка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть задана функция $y = f(x) .$

Дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом называется дифференциал первого порядка от дифференциала первого порядка заданной функции и обозначается через $d^2y :$

$d^2y = d(dy)$

Для вычисления дифференциала второго порядка применяется формула:

$d^2y = f''(x)dx^2$

ПРИМЕР 1

Задание

Найти дифференциал второго функции $y(x) = x^2 + \arccos x$

Решение

По определению второй дифференциал равен

$d^2y = y''(x) dx^2$

Найдем вторую производную заданной функции. Для этого вначале продифференцируем ее по переменной $x$ :

$y'(x) = \left( x^2 + \arccos x \right)' = \left(x^2 \right)' + (\arccos x)' = 2x - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

Вторая производная заданной функции:

$y''(x) = (y'(x))' = \left( 2x - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right)' = (2x)' - \left( \left(1 - x^2 \right)^{-\frac{1}{2}} \right)' =$

$= 2 \cdot (x)' - \left( -\frac{1}{2} \right) \left( 1 - x^2 \right)^{-\frac{3}{2}} \left( 1 - x^2 \right)' =$

$= 2 \cdot 1 + \frac{1}{2 \sqrt{(1 - x^2)^3}} \left[ (1)' - (x^2)' \right] = 2 + \frac{1}{2 \sqrt{(1 - x^2)^3}} (0 - 2x) =$

$= 2+ \frac{-2x}{2 \sqrt{(1 - x^2)^3}} = 2 - \frac{x}{\sqrt{(1 - x^2)^3}}$

Тогда искомый дифференциал второго порядка заданной функции

$d^2y = \left( 2 - \frac{x}{\sqrt{(1 - x^2)^3}} \right) dx^2$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Найти дифференциал второго порядка $d^2y$ функции $y(x) ,$ заданной неявно: $xy + y^2 = 1$

Решение

Найдем первый дифференциал $dy :$

$d(xy + y^2) = d(1)$

Согласно свойствам дифференциалов, дифференциал суммы равен суме дифференциалов, а дифференциал константы – нулю:

$d(xy) + d(y^2) = 0$

По свойствам расписываем дифференциал произведения:

$d(x) \cdot y + x \cdot dy + 2ydy = 0$

$ydx + xdy + 2ydy = 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } dy = -\frac{ydx}{x + 2y}$

Далее находим второй дифференциал $d^2y .$ Это есть дифференциал первого порядка от дифференциала первого порядка:

$d^2y = d(dy) = d \left( -\frac{ydx}{x + 2y} \right)$

Расписываем дифференциал частного по соответствующему свойству:

$d^2y = d \left( -\frac{ydx}{x + 2y} \right) = d \left( \frac{-y}{x + 2y} \right) dx = \frac{d(-y) \cdot (x + 2y) - (-y) \cdot d(x + 2y)}{(x + 2y)^2}dx =$

$= \frac{-dy \cdot (x + 2y) + y \cdot [d(x) + d(2y)]}{(x + 2y)^2}dx = \frac{-\frac{-ydx}{x + 2y} \cdot (x + 2y) + y \cdot (dx + 2dy)}{(x + 2y)^2}dx =$

$= \frac{ydx + ydx + 2ydy}{(x + 2y)^2}dx = \frac{2ydx + 2y \cdot \frac{-ydx}{x + 2y}}{(x + 2y)^2}dx = \frac{2y(x + 2y) - 2y^2}{(x + 2y)^3}(dx)^2 =$

$= \frac{2xy + 4y^2 - 2y^2}{(x + 2y)^3}dx^2 = \frac{2xy + 2y^2}{(x + 2y)^3}dx^2 =$

$= \frac{2 \left(\overbrace{xy + y^2}^{=1} \right)}{(x + 2y)^3}dx^2 = \frac{2dx^2}{(x + 2y)^3}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Дифференциал второго порядка