Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Дифференциал функции: основные понятия и определения

Пусть функция y = f(x) в точке x имеет отличную от нуля производную

    \[ 	\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x) \ne 0 	\]

Тогда в некоторой окрестности этой точки отношение

    \[ 	\frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x) + \alpha 	\]

где \alpha \to 0 при \Delta x \to 0 . Тому приращение функции можно представить в виде:

    \[ 	\Delta y = f'(x) \cdot \Delta x + \alpha \cdot \Delta x 	\]

При этом величина \alpha \cdot \Delta x является бесконечно малой более высокого порядка, чем f'(x) \cdot \Delta x и бесконечно малая \Delta y \sim f'(x) \cdot \Delta(x) , поэтому величину f'(x) \cdot \Delta x называют главной частью приращения функции \Delta y .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дифференциалом dy функции y = f(x) в точке x называют главную, линейную относительно \Delta x , часть ее приращения \Delta y , которая равна произведению производной функции в этой точке на приращение аргумента:

    \[ 	dy = f'(x) \cdot \Delta x 	\]

Замечание. Дифференциал dy называют также дифференциалом первого порядка.

Найдем дифференциал независимой переменной x , то есть дифференциал функции y = x . Так как получаем, что

    \[ y' = 1 \]

то

    \[ dy = dx = 1 \cdot \Delta x = \Delta x \]

То есть дифференциал независимой переменной равен ее приращению:

    \[ dx = \Delta x \]

Тогда формула для дифференциала перепишется в виде:

    \[ dy = f'(x)dx \]

Таким образом, дифференциал функции равен произведению производной указанной функции на дифференциал независимой переменной.

ПРИМЕР
Задание Найти дифференциал функции y(x) = x + \ln x
Решение Согласно определению, искомый дифференциал равен:

    \[ 				dy = y'(x)dx 				\]

Найдем производную заданной функции:

    \[ 				y'(x) = (x + \ln x)' = (x)' + (\ln x)' = 1 + \frac{1}{x} = \frac{x + 1}{x} 				\]

Тогда

    \[ 				dy = \frac{x + 1}{x}dx 				\]

Ответ

Геометрический и механический смыслы дифференциала функции

Геометрически дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в рассматриваемой точке, когда переменная x получает приращение \Delta x.

Механический смысл дифференциала. Пусть материальная точка двигается по закону s = s(t) . Дифференциал функции s(t) равен:

    \[ ds = s'(t) \Delta t \]

Для фиксированных значений t и \Delta t – это тот путь, который бы прошла материальная точка за время \Delta t в случае, если она будет двигаться равномерно и прямолинейно с постоянною скоростью v = s'(t) .

Стоит отметить, что фактический путь \Delta s в случае неравномерного движения материальной точки, в отличии от дифференциала ds , не является линейной функцией времени \Delta t , а поэтому отличается от пути ds . Но все же, если время \Delta t является достаточно малым, то скорость движения существенно не изменяется и поэтому движение точки на промежутке времени от t до t + \Delta t есть практически равномерным.

Основные формулы дифференциала

Основные формулы, которые связаны с дифференциалами, можно получить, используя связь между дифференциалом функции и ее производной, то есть тот факт, что dy = y'(x)dx, а также соответствующие формулы для производных.

Рассмотрим две дифференцируемые функции u(x) и v(x). Тогда имеют место следующие равенства:

  1. d(u + v) = du + dv ;
  2. d(uv) = u \cdot dv + v \cdot du ;
  3. d \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \cdot du - u \cdot dv}{v^2} ;
  4. d(cy(x)) = cd(y(x)) .
ТЕОРЕМА
Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента, то есть

    \[ 	dy = f'(x)dx = f'_u \cdot u'_xdx = f'_u \cdot du 	\]

ПРИМЕР
Задание Найти дифференциал функции y(x) = \sin (2x + 3)
Решение Задана сложная функция с промежуточным аргументом u = 2x + 3, то есть

    \[ 				y(x) = \sin u , u = 2x + 3 				\]

Тогда искомый дифференциал исходной функции

    \[ 				dy = (\sin u)'_u \cdot du = \cos u \cdot d(2x + 3) = \cos (2x + 3) \cdot [d(2x) + d(3)] = 				\]

    \[ 				= \cos (2x + 3) \cdot [2 \cdot d(x) + 0] = \cos (2x + 3) \cdot 2dx = 2 \cos (2x + 3)dx 				\]

Ответ dy = 2 \cos (2x + 3)dx