Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Частные дифференциалы

Дифференциал функции u = f(x, y, z) , найденный при условии, что один из ее аргументов рассматривается как переменная величина, а остальные – постоянные величины, называется частным дифференциалом по соответствующей переменной.

То есть по определению, частные дифференциалы по переменным x, y и z соответственно равны

    \[ d_xu = u'_x(x, y, z)dx \]

    \[ d_yu = u'_y(x, y, z)dy \]

    \[ d_zu = u'_z(x, y, z)dz \]

Здесь dx = \Delta x, dy = \Delta y и dz = \Delta z – произвольные приращения независимых переменных, которые называются их дифференциалами.

ПРИМЕР
Задание Найти частные дифференциалы функции u = \left( 3x^2 - 2xy \right)^z
Решение Вначале найдем частные производные по каждой из переменных:

    \[ 				\frac{\partial u}{\partial x} = z(3x^2 - 2xy)^{z - 1} \cdot (6x - 2y) = z(6x - 2y) \left( 3x^2 - 2xy \right)^{z - 1} 				\]

    \[ 				\frac{\partial u}{\partial y} = z(3x^2 - 2xy)^{z - 1} \cdot (-2x) = -2xz \left( 3x^2 - 2xy \right)^{z - 1} 				\]

    \[ 				\frac{\partial u}{\partial z} = (3x^2 - 2xy)^{z} \cdot \ln \left( 3x^2 - 2xy \right) 				\]

Тогда, подставляя полученные выражения в формулы частных дифференциалов, получим:

    \[ 				d_xu = z(6x - 2y) \left( 3x^2 - 2xy \right)^{z-1} dx 				\]

    \[ 				d_yu = -2xz \left( 3x^2 - 2xy \right)^{z-1} dy 				\]

    \[ 				d_zu = \left( 3x^2 - 2xy \right)^{z} \ln (3x^2 - 2xy) dz 				\]

Ответ d_xu = z(6x - 2y) \left( 3x^2 - 2xy \right)^{z-1} dx

d_yu = -2xz \left( 3x^2 - 2xy \right)^{z-1} dy

d_zu = \left( 3x^2 - 2xy \right)^{z} \ln (3x^2 - 2xy) dz