Частные дифференциалы

Дифференциал функции $u = f(x, y, z) ,$ найденный при условии, что один из ее аргументов рассматривается как переменная величина, а остальные – постоянные величины, называется частным дифференциалом по соответствующей переменной.

То есть по определению, частные дифференциалы по переменным $x, y$ и $z$ соответственно равны

$d_xu = u'_x(x, y, z)dx$

$d_yu = u'_y(x, y, z)dy$

$d_zu = u'_z(x, y, z)dz$

Здесь $dx = \Delta x, dy = \Delta y$ и $dz = \Delta z$ – произвольные приращения независимых переменных, которые называются их дифференциалами.

ПРИМЕР

Задание

Найти частные дифференциалы функции $u = \left( 3x^2 - 2xy \right)^z$

Решение

Вначале найдем частные производные по каждой из переменных:

$\frac{\partial u}{\partial x} = z(3x^2 - 2xy)^{z - 1} \cdot (6x - 2y) = z(6x - 2y) \left( 3x^2 - 2xy \right)^{z - 1}$

$\frac{\partial u}{\partial y} = z(3x^2 - 2xy)^{z - 1} \cdot (-2x) = -2xz \left( 3x^2 - 2xy \right)^{z - 1}$

$\frac{\partial u}{\partial z} = (3x^2 - 2xy)^{z} \cdot \ln \left( 3x^2 - 2xy \right)$

Тогда, подставляя полученные выражения в формулы частных дифференциалов, получим:

$d_xu = z(6x - 2y) \left( 3x^2 - 2xy \right)^{z-1} dx$

$d_yu = -2xz \left( 3x^2 - 2xy \right)^{z-1} dy$

$d_zu = \left( 3x^2 - 2xy \right)^{z} \ln (3x^2 - 2xy) dz$

Ответ

$d_xu = z(6x - 2y) \left( 3x^2 - 2xy \right)^{z-1} dx$

$d_yu = -2xz \left( 3x^2 - 2xy \right)^{z-1} dy$

$d_zu = \left( 3x^2 - 2xy \right)^{z} \ln (3x^2 - 2xy) dz$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Частные дифференциалы