Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Частные производные второго порядка

Если задана функция u = f(x, y, z) и вычислены ее частные производные \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y} и \frac{\partial u}{\partial z} , то они в свою очередь также являются функциями независимых переменных x, y и z , а поэтому от каждой из них можно найти производную по каждой из переменных.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если найти частную производную по переменной x от частной производной первого порядка \frac{\partial u}{\partial x} , то получаем частную производную второго порядка от функции u , которую взято два раза по переменной x . Это производная обознается как:

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = u''_{xx} \]

Итак,

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) \]

Если взять частную производную по переменной y от производной \frac{\partial u}{\partial x} , то получим частную производную второго порядка функции u, которую взято вначале по переменной x , а потом – по переменной y . Такая производная называется смешанной производной и обозначается

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = u''_{xy} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) \]

Аналогично, частная производная по переменной x от первой производной \frac{\partial u}{\partial y} по переменной y дает вторую смешанную частную производную функции u , вычисленную вначале по переменной y , а потом – по переменной x . Она обозначается символом

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = u''_{yx} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right) \]

ТЕОРЕМА
Смешанные производные, если они непрерывны, не зависят от порядка дифференцирования, то есть

    \[ 	\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} 	\]

Частная производная по переменной y от производной первого порядка \frac{\partial u}{\partial y} есть второй частной производной от функции u по переменной y . Ее обозначают следующим образом:

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = u''_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right) \]

Подобным образом задаются производные более высокого порядка, чем второй. Например, выражение \frac{\partial^3 u}{\partial x^3} = u'''_{xxx} определяет производную третьего порядка функции u = f(x, y, z) найденную три раза по переменной x . Аналогично \frac{\partial^3 u}{\partial x^2 \partial y} – смешанная производная третьего порядка, взятая два раза по переменной x и от полученной производной \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} найдена один раз производная по переменной y .

ПРИМЕР
Задание Найти все частные производные второго порядка функции u = x^4 + 3x^3y - 4x^2 y^2 z - y^4 + z
Решение Чтобы найти производные второго порядка, вначале вычислим частные производные первого порядка:

    \[ 				\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left(x^4 + 3x^3y - 4x^2y^2z - y^4 + z \right) = 4x^3 + 3y \cdot 3x^2 - 4y^2z \cdot 2x - 0 + 0 = 4x^3 + 9x^2 y - 8xy^2 z; 				\]

    \[ 				\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(x^4 + 3x^3y - 4x^2y^2z - y^4 + z \right) = 0+ 3x^3 \cdot 1 - 4x^2z \cdot 2y - 4y^3 + 0 = 3x^3 - 8x^2yz - 4y^3 				\]

    \[ 				\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left(x^4 + 3x^3y - 4x^2y^2z - y^4 + z \right) = 0 + 0 - 4x^2y^2 \cdot 1 - 0 + 1 = 1 - 4x^2y^2 				\]

Переходим к нахождению частных производных второго порядка. Для нахождения второй производной \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} продифференцируем выражение \frac{\partial u}{\partial x} по переменной x :

    \[ 				\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial u}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left( 4x^3 + 9x^2 y - 8xy^2 z \right) = 12x^2 + 18 xy - 8y^2z 				\]

Аналогично

    \[ 				\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right) = \frac{\partial}{\partial y} \left( 3x^3 - 8x^2yz - 4y^3 \right) = -8x^2z - 12y^2 				\]

    \[ 				\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial u}{\partial z} \right) = \frac{\partial}{\partial z} \left( 1 - 4x^2y^2 \right) = 0 				\]

Смешанные производные:

    \[ 				\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial u}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial y} \left( 4x^3 + 9x^2 y - 8xy^2 z \right) = 9x^2 - 16xyz 				\]

    \[ 				\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left( 3x^3 - 8x^2yz - 4y^3 \right) = 9x^2 - 16xyz 				\]

Получили, что \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} .

Таким же образом находим оставшиеся смешанные производные:

    \[ 				\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{\partial u}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial z} \left( 4x^3 + 9x^2 y - 8xy^2 z \right) = -8xy^2 				\]

    \[ 				\frac{\partial^2 u}{\partial z \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial z} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left( 1 - 4x^2y^2 \right) = -8xy^2 				\]

Проверка: \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial z} = \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial x} . Аналогично

    \[ 				\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right) = \frac{\partial}{\partial z} \left( 3x^3 - 8x^2yz - 4y^3 \right) = -8x^2y 				\]

    \[ 				\frac{\partial^2 u}{\partial z \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial z} \right) = \frac{\partial}{\partial y} \left( 1 - 4x^2y^2 \right) = -8x^2y 				\]

и равенство \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} = \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial y} выполняется.

Ответ