Частные производные второго порядка

Если задана функция $u = f(x, y, z)$ и вычислены ее частные производные $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}$ и $\frac{\partial u}{\partial z} ,$ то они в свою очередь также являются функциями независимых переменных $x, y$ и $z ,$ а поэтому от каждой из них можно найти производную по каждой из переменных.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если найти частную производную по переменной $x$ от частной производной первого порядка $\frac{\partial u}{\partial x} ,$ то получаем частную производную второго порядка от функции $u ,$ которую взято два раза по переменной $x .$ Это производная обознается как:

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = u''_{xx}$

Итак,

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)$

Если взять частную производную по переменной $y$ от производной $\frac{\partial u}{\partial x} ,$ то получим частную производную второго порядка функции $u$ , которую взято вначале по переменной $x ,$ а потом – по переменной $y .$ Такая производная называется смешанной производной и обозначается

$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = u''_{xy} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)$

Аналогично, частная производная по переменной $x$ от первой производной $\frac{\partial u}{\partial y}$ по переменной $y$ дает вторую смешанную частную производную функции $u ,$ вычисленную вначале по переменной $y ,$ а потом – по переменной $x .$ Она обозначается символом

$\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = u''_{yx} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)$

ТЕОРЕМА

Смешанные производные, если они непрерывны, не зависят от порядка дифференцирования, то есть

$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}$

Частная производная по переменной $y$ от производной первого порядка $\frac{\partial u}{\partial y}$ есть второй частной производной от функции $u$ по переменной $y .$ Ее обозначают следующим образом:

$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = u''_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)$

Подобным образом задаются производные более высокого порядка, чем второй. Например, выражение $\frac{\partial^3 u}{\partial x^3} = u'''_{xxx}$ определяет производную третьего порядка функции $u = f(x, y, z)$ найденную три раза по переменной $x .$ Аналогично $\frac{\partial^3 u}{\partial x^2 \partial y}$ – смешанная производная третьего порядка, взятая два раза по переменной $x$ и от полученной производной $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ найдена один раз производная по переменной $y .$

ПРИМЕР

Задание

Найти все частные производные второго порядка функции $u = x^4 + 3x^3y - 4x^2 y^2 z - y^4 + z$

Решение

Чтобы найти производные второго порядка, вначале вычислим частные производные первого порядка:

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left(x^4 + 3x^3y - 4x^2y^2z - y^4 + z \right) = 4x^3 + 3y \cdot 3x^2 - 4y^2z \cdot 2x - 0 + 0 = 4x^3 + 9x^2 y - 8xy^2 z;$

$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(x^4 + 3x^3y - 4x^2y^2z - y^4 + z \right) = 0+ 3x^3 \cdot 1 - 4x^2z \cdot 2y - 4y^3 + 0 = 3x^3 - 8x^2yz - 4y^3$

$\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left(x^4 + 3x^3y - 4x^2y^2z - y^4 + z \right) = 0 + 0 - 4x^2y^2 \cdot 1 - 0 + 1 = 1 - 4x^2y^2$

Переходим к нахождению частных производных второго порядка. Для нахождения второй производной $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ продифференцируем выражение $\frac{\partial u}{\partial x}$ по переменной $x :$

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial u}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left( 4x^3 + 9x^2 y - 8xy^2 z \right) = 12x^2 + 18 xy - 8y^2z$

Аналогично

$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right) = \frac{\partial}{\partial y} \left( 3x^3 - 8x^2yz - 4y^3 \right) = -8x^2z - 12y^2$

$\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial u}{\partial z} \right) = \frac{\partial}{\partial z} \left( 1 - 4x^2y^2 \right) = 0$

Смешанные производные:

$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial u}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial y} \left( 4x^3 + 9x^2 y - 8xy^2 z \right) = 9x^2 - 16xyz$

$\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left( 3x^3 - 8x^2yz - 4y^3 \right) = 9x^2 - 16xyz$

Получили, что $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} .$

Таким же образом находим оставшиеся смешанные производные:

$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{\partial u}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial z} \left( 4x^3 + 9x^2 y - 8xy^2 z \right) = -8xy^2$

$\frac{\partial^2 u}{\partial z \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial z} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left( 1 - 4x^2y^2 \right) = -8xy^2$

Проверка: $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial z} = \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial x} .$ Аналогично

$\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right) = \frac{\partial}{\partial z} \left( 3x^3 - 8x^2yz - 4y^3 \right) = -8x^2y$

$\frac{\partial^2 u}{\partial z \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial z} \right) = \frac{\partial}{\partial y} \left( 1 - 4x^2y^2 \right) = -8x^2y$

и равенство $\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} = \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial y}$ выполняется.

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Частные производные второго порядка