Смешанная производная

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть функция двух переменных $z = f(x; y)$ и ее частные производные первого порядка $z'_x$ и $z'_y$ определены в некоторой окрестности точки $M(x_0; y_0) .$ Тогда предел

$\lim_{\Delta y \to 0}{\frac{\frac{\partial f(x_0; y_0 + \Delta y)}{\partial x} - \frac{\partial f(x_0; y_0)}{\partial x}}{\Delta y}}$

если он существует, называется смешанной производной функции $z = f(x; y)$ в точке $M$ и обозначается

$\frac{\partial^2 f(x_0; y_0)}{\partial y \partial x}$

Аналогично определяется $\frac{\partial^2 f(x_0; y_0)}{\partial x \partial y}$ как

$\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\frac{\partial f(x_0 + \Delta x; y_0)}{\partial y} - \frac{\partial f(x_0; y_0)}{\partial y}}{\Delta x}}$

если он существует.

Имеют место обозначения:

$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = f''_{yx} = z''_{yx}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f''_{xy} = z''_{xy}$

Имеет место теорема о равенстве смешанных производных.

ТЕОРЕМА

Теорема Шварца. Пусть выполнены условия:

Функции $z = f(x; y), z'_x, z'_y, z''_{yx}$ и $z''_{xy}$ определены в некоторой окрестности точки $M(x_0; y_0) ;$
$z''_{yx}$ и $z''_{xy}$ непрерывны в указанной точке.