Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Смешанная производная

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть функция двух переменных z = f(x; y) и ее частные производные первого порядка z'_x и z'_y определены в некоторой окрестности точки M(x_0; y_0) . Тогда предел

    \[ 	\lim_{\Delta y \to 0}{\frac{\frac{\partial f(x_0; y_0 + \Delta y)}{\partial x} - \frac{\partial f(x_0; y_0)}{\partial x}}{\Delta y}} 	\]

если он существует, называется смешанной производной функции z = f(x; y) в точке M и обозначается

    \[ 	\frac{\partial^2 f(x_0; y_0)}{\partial y \partial x} 	\]

Аналогично определяется \frac{\partial^2 f(x_0; y_0)}{\partial x \partial y} как

    \[ 	\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\frac{\partial f(x_0 + \Delta x; y_0)}{\partial y} - \frac{\partial f(x_0; y_0)}{\partial y}}{\Delta x}} 	\]

если он существует.

Имеют место обозначения:

    \[ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = f''_{yx} = z''_{yx} \]

    \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f''_{xy} = z''_{xy} \]

Имеет место теорема о равенстве смешанных производных.

ТЕОРЕМА
Теорема Шварца. Пусть выполнены условия:
  1. Функции z = f(x; y), z'_x, z'_y, z''_{yx} и z''_{xy} определены в некоторой окрестности точки M(x_0; y_0) ;
  2. z''_{yx} и z''_{xy} непрерывны в указанной точке.

Тогда z''_{yx}(M) = z''_{xy}(M) , то есть смешанные производные второго порядка равны в каждой точке, где они непрерывны.

Примеры вычисления смешанных производных

ПРИМЕР 1
Задание Найти смешанную производную z''_{yx} функции z = x^2 + y^2
Решение Продифференцируем вначале заданную функцию по переменной y , при этом считаем, что вторая переменная является константой:

    \[ 				z'_y = \left( x^2 + y^2 \right)'_y = \left( x^2 \right)'_y + \left( y^2 \right)'_y = 0 + 2y = 2y 				\]

Для нахождения требуемой производной z''_{yx} продифференцируем теперь полученное выражение по переменной x :

    \[ 				z''_{yx} = (2y)'_x = 0 				\]

Ответ z''_{yx} = 0
ПРИМЕР 2
Задание Показать, что для функции z = x \sin y выполняется равенство z''_{yx} = z''_{xy}
Решение Найдем вначале смешанную производную z''_{yx} :

    \[ 				z'_y = x \cos y \text{ } \Rightarrow \text{ } z''_{yx} = (x \cos y)'_x = \cos y 				\]

Аналогично, смешанная производная z''_{xy} :

    \[ 				z'_x = \sin y \text{ } \Rightarrow \text{ } z''_{xy} = (\sin y)'_y = \cos y 				\]

То есть z''_{yx} = z''_{xy} .

Ответ z''_{yx} = z''_{xy}