Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная второго порядка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Рассмотрим дифференцируемую на (a;b) функцию y = f(x) . Ее производная y' также является функцией аргумента x . Если эту функцию продифференцировать еще раз, то получим вторую производную функции y = f(x) :

    \[ 	y'' = (y')' 	\]

Итак, производная второго порядка есть первая производная от производной первого порядка.
ПРИМЕР 1
Задание Найти производную второго порядка функции y = x^3 - 4x + 13
Решение Для того чтобы найти вторую производную, вначале надо найти производную первого порядка:

    \[ 				y' = \left( x^3 - 4x + 13 \right)' 				\]

Согласно свойству линейности, имеем:

    \[ 				y' = \left( x^3 \right)' - 4 \cdot (x)' + (13)' = 3x^2 - 4 \cdot 1 + 0 = 3x^2 - 4 				\]

Тогда искомая вторая производная

    \[ 				y'' = \left(y' \right)' = \left( 3x^2 - 4 \right)' = 3 \cdot \left( x^2 \right)' - (4)' = 3 \cdot 2x - 0 = 6x 				\]

Ответ y'' = 6x
ПРИМЕР 2
Задание Найти вторую производную функции y = x \cos x .
Решение Продифференцируем заданную функцию:

    \[ 				y' = (x \cos x)' 				\]

Согласно правилу дифференцирования произведения, имеем:

    \[ 				y' = (x)' \cdot \cos x + x \cdot (\cos x)' = 1 \cdot \cos x + x \cdot (- \sin x) = \cos x - x \sin x 				\]

После второго дифференцирования получаем:

    \[ 				y'' = (y')' = (\cos x - x \sin x)' = (\cos x)' - (x \sin x)' = - \sin x - \left( (x)' \cdot \sin x + x \cdot (\sin x)' \right) = 				\]

    \[ 				= - \sin x - (1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x) = -\sin x - \sin x - x \cos x = -2 \sin x - x \cos x 				\]

Ответ y'' = -2 \sin x - x \cos x