Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Примеры решения частных производных

Теория по частным производным

Пусть функция двух переменных z=f(x, y) – непрерывна и дифференцируема. Частной производной \frac{\partial z}{\partial x} по x называется производная от этой функции по x при условии, что y – константа. Частной производной \frac{\partial z}{\partial y} по y называется производная от этой функции по y при условии, что x – константа.

Полный дифференциал функции z=f(x, y) , находится по формуле

    \[    dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy \]

Частные производные второго порядка находят дифференцированием производных первого порядка:

    \[    \frac{\partial ^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) \text{ }\text{ } ; \text{ }\text{ } \frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) \text{ }\text{ } ; \text{ }\text{ } \frac{\partial ^{2} z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right) \text{ }\text{ } ; \text{ }\text{ } \frac{\partial ^{2} z}{\partial y^{2}} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right) \]

При нахождении частных производных, правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной, по которой ведется дифференцирование.

Примеры

ПРИМЕР 1
Задание Найти частные производные первого порядка функции z(x, y) = x^{2}-y^{2}+2xy+5
Решение Найдем частную производную \frac{\partial z}{\partial x} , при этом y считаем константой. Получим:

    \[    \frac{\partial z}{\partial x} = 2x+2y \]

Аналогично находим производную \frac{\partial z}{\partial y} , только теперь дифференцируем по y , а x считаем константой:

    \[    \frac{\partial z}{\partial y} =-2y+2x \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти частные производные первого порядка z=x^{y}
Решение Найдем частную производную \frac{\partial z}{\partial x} , при этом y считается константой, и производная берется как от степенной функции:

    \[    \frac{\partial z}{\partial x} =y \cdot x^{y-1} \]

Далее найдем частную производную \frac{\partial z}{\partial y} , при этом x считается константой, и производная берется как от показательной функции:

    \[    \frac{\partial z}{\partial y} =x^{y} \ln x \]

Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Найти полный дифференциал функции z=e^{xy}
Решение Полный дифференциал функции находится по формуле

    \[    dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy \]

Найдем частные производные первого порядка. Сначала \frac{\partial z}{\partial x} , при этом дифференцируем по x ; y – константа, а z=e^{xy} будет представлять собой сложную функцию. По правилу дифференцирования сложной функции, имеем

    \[    \frac{\partial z}{\partial x} = e^{xy} \cdot (xy)' = y e^{xy} \]

Аналогично находится частная производная \frac{\partial z}{\partial y} , дифференцируется по y , а x считается константой

    \[    \frac{\partial z}{\partial y} = x e^{xy} \]

Далее подставляем эти частные производные в формулу для нахождения полного дифференциала, получим

    \[    dz = y e^{xy} dx + x e^{xy} dy \text{ } \Rightarrow \text{ } dz = e^{xy} (y dx + x dy) \]

Ответ dz = e^{xy} (y dx + x dy)
ПРИМЕР 4
Задание Найти все производные второго порядка для функции z=y^{5}-4x^{2}y^{4}-6x y^{3} +2x-y+3
Решение Сначала отыщем все производные первого порядка. При нахождения производной \frac{\partial z}{\partial x} , дифференцируем исходную функцию по x ; y считается константой. Учитывая свойство линейности производной и формулу для вычисления степенной функции, получим

    \[    \frac{\partial z}{\partial x} = -4 \cdot 2xy^{4} -6y^{3} +2\text{ } \Rightarrow \text{ } \frac{\partial z}{\partial x} = -8 xy^{4} -6y^{3}+2 \]

При нахождения производной \frac{\partial z}{\partial y} , дифференцируем z по y , а x считаем константой, получим:

    \[    \frac{\partial z}{\partial y} = 5y^{4} - 4 \cdot 4x^{2}y^{3} - 6 \cdot 3 xy^{2}-1 \text{ } \Rightarrow \text{ } \frac{\partial z}{\partial y} = 5y^{4} -16x^{2}y^{3}-18 xy^{2}-1 \]

Теперь перейдем к вычислению производных второго порядка. По определению, вторая производная по x равна \frac{\partial ^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) . Следовательно, от первой производной \frac{\partial z}{\partial x} нужно взять производную по x , при этом y считаем константой:

    \[    \frac{\partial ^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x} \left( -8 xy^{4} -6y^{3}+2 \right) = -8y^{4} \]

Аналогично вычислим частную производную второго порядка по y :

    \[    \frac{\partial ^{2} z}{\partial y^{2}} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right) =  \frac{\partial}{\partial y} \left( 5y^{4} -16x^{2}y^{3}-18 xy^{2}-1 \right) = 20y^{3}-54x^{2}y^{2}-36xy \]

Вычислим смешанные производные второго порядка. По определению, смешанная производная \frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} равна \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) , то есть от первой производной \frac{\partial z}{\partial x} нужно взять производную по y , при этом x считаем константой:

    \[    \frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial y} \left( -8 xy^{4} -6y^{3}+2 \right) = -32xy^{3}-18y^{2} \]

Производная \frac{\partial ^{2} z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right) , то есть от первой производной \frac{\partial z}{\partial y} берем производную по x , а переменную y считаем константой:

    \[    \frac{\partial ^{2} z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left( 5y^{4} -16x^{2}y^{3}-18 xy^{2}-1 \right) = -32xy^{3}-18y^{2} \]

Ответ
ПРИМЕР 5
Задание Показать, что функция z=\sin (2x-3y) удовлетворяет уравнению

    \[    \frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial ^{2} z}{\partial y \partial x}  \]

Решение Найдем сначала частные производные первого порядка. По правилу вычисления частных производных, учитывая, что дифференцируемая функция является сложной, получим:

    \[    \frac{\partial z}{\partial x} = \cos (2x-3y) \cdot (2x-3y)_{x}'=2 \cos (2x-3y) \]

    \[    \frac{\partial z}{\partial x} = \cos (2x-3y) \cdot (2x-3y)_{y}'= -3 \cos (2x-3y) \]

Далее находим смешанные производные второго порядка

    \[    \frac{\partial ^{2} z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right) = -3 \sin (2x-3y) \cdot (2x-3y)_{x}' = -3 \cdot 2 \sin (2x-3y) = -6 \sin (2x-3y) \]

    \[    \frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) = 2 \sin (2x-3y) \cdot (2x-3y)_{y}' = -3 \cdot 2 \sin (2x-3y) = -6 \sin (2x-3y) \]

Подставляя в равенство \frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial ^{2} z}{\partial y \partial x} найденные значения смешанных производных второго порядка, получаем тождество:

    \[    -6 \sin (2x-3y) = -6 \sin (2x-3y) \]

Ответ Функция z=\sin (2x-3y) удовлетворяет уравнению, ее смешанные производные равны.