Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Частные производные

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть задана функция u = f(x, y, z) . Придадим одной из независимых переменных, например x , приращение \Delta x .

Частным приращением \Delta_x u функции u называется разность

    \[ 	\Delta_x u = f(x + \Delta x, y, z) - f(x, y, z) 	\]

Соответственно частные приращения по переменным y и z:

    \[ 	\Delta_y u = f(x,y + \Delta y, z) - f(x, y, z) 	\]

    \[ 	\Delta_z u = f(x, y, z + \Delta z) - f(x, y, z) 	\]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Составим отношение \frac{\Delta_x u}{\Delta x} . Если при стремлении \Delta x к нулю указанное соотношение стремится к определенному пределу, то этот предел называется частной производной по переменной x и обозначается:

    \[ 	\frac{\partial u}{\partial x}\text{ },\text{ } \frac{\partial f}{\partial x}\text{ },\text{ } u'_x\text{ },\text{ } f'_x 	\]

Итак,

    \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta_x u}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y, z) - f(x, y, z)}{\Delta x} \]

Аналогично определяются частные производные заданной функции u = f(x, y, z) по переменным y и z . Частная производная по переменной y :

    \[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial y} = u'_y = f'_y = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\Delta_y u}{\Delta y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x, y + \Delta y, z) - f(x, y, z)}{\Delta y} \]

а по переменной z :

    \[ \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial z} = u'_z = f'_z = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{\Delta_z u}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(x, y, z + \Delta z) - f(x, y, z)}{\Delta z} \]

Частные производные нескольких переменных

Вычисление частных производных функции нескольких независимых переменных проводится по тем же правилам, что и для производных функции одной переменной. При этом нужно иметь в виду, что при нахождении частной производной по одной из переменных все остальные переменные считаются константами.

Если продифференцировать, например, первую частную производную \frac{\partial u}{\partial x} заданной функции по переменной x еще раз по этой переменной, то получим частную производную второго порядка, взятую два раза по x , то есть производную

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) \]

Аналогично получаем еще две вторые производные по переменным y и z :

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right) \]

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial u}{\partial z} \right) \]

Если же продифференцировать по переменной y первую производную \frac{\partial u}{\partial x} , взятую по переменной x , то получим смешанную производную

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) \]

Аналогично вводятся и остальные смешанные производные:

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)\text{ },\text{ } \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)\text{ },\text{ } \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial z} \right)\text{ },\text{ } \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial z} \right) \]

Известен тот факт, что значение смешанной производной не зависит от порядка дифференцирования, то есть

    \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}\text{ },\text{ } \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial z} = \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial x}\text{ },\text{ } \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} = \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial y} \]

Примеры вычисления частных производных

ПРИМЕР 1
Задание Найти частные производные функции u = x^2 + 3xy + 4y^2 по всем переменным.
Решение Найдем частную производную по переменной x , при этом считаем, что другая независимая переменная y есть величиной постоянной. То есть

    \[ 				\frac{\partial u}{\partial x} = \left( x^2 + 3xy + 4y^2 \right)'_x = \left(x^2\right)'_x + (3xy)'_x + \left(4y^2 \right)'_x = 2x + 3y \cdot (x)'_x + 0 = 				\]

    \[ 				= 2x + 3y \cdot 1 = 2x + 3y 				\]

Аналогично производная по переменной y :

    \[ 				\frac{\partial u}{\partial y} = \left( x^2 + 3xy + 4y^2 \right)'_y = \left(x^2\right)'_y + (3xy)'_y + \left(4y^2 \right)'_y = 0 + 3x \cdot (y)'_y + 4(y^2)'_y = 				\]

    \[ 				= 3x \cdot 1 + 4 \cdot 2y = 3x + 8y 				\]

Ответ u'_x = 2x + 3y \text{ },\text{ } u'_y = 3x + 8y
ПРИМЕР 2
Задание Найти значения частных производных функции u = \frac{x}{y} + 3 \ln (xy) + 4y^2 - z^3 в точке M(1; 1; 1) .
Решение Находим частные производные по каждой из переменных, считая при этом все остальные переменные константами:

    \[ 				u'_x = \frac{1}{y} \cdot 1 + 3 \cdot \frac{1}{xy} \cdot y + 0 - 0 = \frac{1}{y} + \frac{3}{x} 				\]

    \[ 				u'_y = x \cdot \left( -\frac{1}{y^2} \right) + 3 \cdot \frac{1}{xy} \cdot x + 8y - 0 = \frac{3}{y} - \frac{x}{y^2} + 8y 				\]

    \[ 				u'_z = 0 + 0 + 0 - 3z^2 = -3z^2 				\]

Вычисляем значения полученных производных в заданной точке:

    \[ 				u'_x(M) = \frac{1}{1} + \frac{3}{1} = 1 + 3 = 4 				\]

    \[ 				u'_y(M) = \frac{3}{1} - \frac{1}{1^2} + 8 \cdot 1 = 3 - 1 + 8 = 10 				\]

    \[ 				u'_z(M) = -3 \cdot 1^2 = -3 				\]

Ответ u'_x(M) = 4\text{ };\text{ } u'_y(M) = 10\text{ };\text{ } u'_z(M) = -3