Частные производные

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть задана функция $u = f(x, y, z) .$ Придадим одной из независимых переменных, например $x ,$ приращение $\Delta x .$

Частным приращением $\Delta_x u$ функции $u$ называется разность

$\Delta_x u = f(x + \Delta x, y, z) - f(x, y, z)$

Соответственно частные приращения по переменным $y$ и $z$ :

$\Delta_y u = f(x,y + \Delta y, z) - f(x, y, z)$

$\Delta_z u = f(x, y, z + \Delta z) - f(x, y, z)$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Составим отношение $\frac{\Delta_x u}{\Delta x} .$ Если при стремлении $\Delta x$ к нулю указанное соотношение стремится к определенному пределу, то этот предел называется частной производной по переменной $x$ и обозначается:

$\frac{\partial u}{\partial x}\text{ },\text{ } \frac{\partial f}{\partial x}\text{ },\text{ } u'_x\text{ },\text{ } f'_x$

Итак,

$\frac{\partial u}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta_x u}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y, z) - f(x, y, z)}{\Delta x}$

Аналогично определяются частные производные заданной функции $u = f(x, y, z)$ по переменным $y$ и $z .$ Частная производная по переменной $y :$

$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial y} = u'_y = f'_y = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\Delta_y u}{\Delta y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x, y + \Delta y, z) - f(x, y, z)}{\Delta y}$

а по переменной $z :$

$\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial z} = u'_z = f'_z = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{\Delta_z u}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(x, y, z + \Delta z) - f(x, y, z)}{\Delta z}$

Частные производные нескольких переменных

Вычисление частных производных функции нескольких независимых переменных проводится по тем же правилам, что и для производных функции одной переменной. При этом нужно иметь в виду, что при нахождении частной производной по одной из переменных все остальные переменные считаются константами.

Если продифференцировать, например, первую частную производную $\frac{\partial u}{\partial x}$ заданной функции по переменной $x$ еще раз по этой переменной, то получим частную производную второго порядка, взятую два раза по $x ,$ то есть производную

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)$

Аналогично получаем еще две вторые производные по переменным $y$ и $z :$

$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)$

$\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial u}{\partial z} \right)$

Если же продифференцировать по переменной $y$ первую производную $\frac{\partial u}{\partial x} ,$ взятую по переменной $x ,$ то получим смешанную производную

$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)$

Аналогично вводятся и остальные смешанные производные:

$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)\text{ },\text{ } \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)\text{ },\text{ } \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial z} \right)\text{ },\text{ } \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial z} \right)$

Известен тот факт, что значение смешанной производной не зависит от порядка дифференцирования, то есть

$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}\text{ },\text{ } \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial z} = \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial x}\text{ },\text{ } \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} = \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial y}$

Примеры вычисления частных производных

ПРИМЕР 1

Задание

Найти частные производные функции $u = x^2 + 3xy + 4y^2$ по всем переменным.

Решение

Найдем частную производную по переменной $x ,$ при этом считаем, что другая независимая переменная $y$ есть величиной постоянной. То есть

$\frac{\partial u}{\partial x} = \left( x^2 + 3xy + 4y^2 \right)'_x = \left(x^2\right)'_x + (3xy)'_x + \left(4y^2 \right)'_x = 2x + 3y \cdot (x)'_x + 0 =$

$= 2x + 3y \cdot 1 = 2x + 3y$

Аналогично производная по переменной $y :$

$\frac{\partial u}{\partial y} = \left( x^2 + 3xy + 4y^2 \right)'_y = \left(x^2\right)'_y + (3xy)'_y + \left(4y^2 \right)'_y = 0 + 3x \cdot (y)'_y + 4(y^2)'_y =$