Формулы производных функции

Рассмотрим функцию $y=f\left( x \right) ,$ которая определена и непрерывна на некотором интервале $\left( a;\ b \right) ,$ произвольную точку ${{x}_{0}}\in \left( a;\ b \right)$ и соответствующее значение функции в этой точке $f\left( {{x}_{0}} \right) .$ Зададим аргументу функции приращение $\Delta x$ в точке ${{x}_{0}} .$ В результате получим величину $\Delta x+{{x}_{0}}$ и соответствующее значение функции $f\left( \Delta x+{{x}_{0}} \right) .$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производной функции в точке ${{x}_{0}}$ называется предел отношения приращения функции $\Delta y=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)$ к вызвавшему его приращению аргумента $\Delta x$ в этой точке, при условии, что последний стремится к нулю: $\Delta x\to 0 :$

${f}'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\Delta x}$

Если данный предел конечен, то рассматриваемая функция $y=f\left( x \right)$ называется дифференцируемой в точке ${{x}_{0}}$ .

Дифференцирование – это процесс нахождения производной функции. Его проводят с использованием таблицы производных и правил дифференцирования. На этой странице разобраны все формулы производных функции.

Таблица производных, список формул

Правила дифференцирования

${{\left( c\cdot u\left( x \right) \right)}^{\prime }}=c\cdot {u}'\left( x \right)$

${{\left( u\left( x \right)\pm v\left( x \right) \right)}^{\prime }}={u}'\left( x \right)\pm {v}'\left( x \right)$

${{\left( u\left( x \right)\cdot v\left( x \right) \right)}^{\prime }}={u}'\left( x \right)v\left( x \right)+u\left( x \right){v}'\left( x \right)$

${{\left( \frac{u\left( x \right)}{v\left( x \right)} \right)}^{\prime }}=\frac{{u}'\left( x \right)v\left( x \right)-u\left( x \right){v}'\left( x \right)}{{{v}^{2}}\left( x \right)},\ v\left( x \right)\ne 0$

ПРИМЕР 1

Задание

Найти производную функции $y\left( x \right)=2{{\log }_{2}}x-{{3}^{x}}+4$

Решение

Искомая производная равна:

${y}'\left( x \right)={{\left( 2{{\log }_{2}}x-{{3}^{x}}+4 \right)}^{\prime }}={{\left( 2{{\log }_{2}}x \right)}^{\prime }}-{{\left( {{3}^{x}} \right)}^{\prime }}+{{\left( 4 \right)}^{\prime }}=$

$=2\cdot {{\left( {{\log }_{2}}x \right)}^{\prime }}-{{3}^{x}}\ln 3+0=\frac{2}{x\ln 2}-{{3}^{x}}\ln 3$

Ответ

${y}'\left( x \right)=\frac{2}{x\ln 2}-{{3}^{x}}\ln 3$

ПРИМЕР 2

Задание

Продифференцировать функцию

$y\left( x \right)=\sin x-\frac{x+1}{x-2}$

Решение

Искомая производная

${y}'\left( x \right)={{\left( \sin x-\frac{x+1}{x-2} \right)}^{\prime }}$

Производная разности равна разности производных:

${y}'\left( x \right)={{\left( \sin x \right)}^{\prime }}-{{\left( \frac{x+1}{x-2} \right)}^{\prime }}$

Производную первого слагаемого найдем по таблице производных, второго – как производную частного:

${y}'\left( x \right)=\cos x-\frac{{{\left( x+1 \right)}^{\prime }}\cdot \left( x-2 \right)-\left( x+1 \right)\cdot {{\left( x-2 \right)}^{\prime }}}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\cos x-\frac{1\cdot \left( x-2 \right)-\left( x+1 \right)\cdot 1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=$

$=\cos x-\frac{x-2-x-1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\cos x+\frac{3}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Формулы производных функции

Таблица производных, список формул

Правила дифференцирования