Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формулы производных функции

Рассмотрим функцию y=f\left( x \right) , которая определена и непрерывна на некотором интервале \left( a;\ b \right) , произвольную точку {{x}_{0}}\in \left( a;\ b \right) и соответствующее значение функции в этой точке f\left( {{x}_{0}} \right) . Зададим аргументу функции приращение \Delta x в точке {{x}_{0}} . В результате получим величину \Delta x+{{x}_{0}} и соответствующее значение функции f\left( \Delta x+{{x}_{0}} \right) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производной функции в точке {{x}_{0}} называется предел отношения приращения функции \Delta y=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right) к вызвавшему его приращению аргумента \Delta x в этой точке, при условии, что последний стремится к нулю: \Delta x\to 0 :

    \[{f}'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\Delta x}\]

Если данный предел конечен, то рассматриваемая функция y=f\left( x \right) называется дифференцируемой в точке {{x}_{0}} .

Дифференцирование – это процесс нахождения производной функции. Его проводят с использованием таблицы производных и правил дифференцирования. На этой странице разобраны все формулы производных функции.

Таблица производных, список формул

Формулы производных функции

Правила дифференцирования

    \[{{\left( c\cdot u\left( x \right) \right)}^{\prime }}=c\cdot {u}'\left( x \right)\]

    \[{{\left( u\left( x \right)\pm v\left( x \right) \right)}^{\prime }}={u}'\left( x \right)\pm {v}'\left( x \right)\]

    \[{{\left( u\left( x \right)\cdot v\left( x \right) \right)}^{\prime }}={u}'\left( x \right)v\left( x \right)+u\left( x \right){v}'\left( x \right)\]

    \[{{\left( \frac{u\left( x \right)}{v\left( x \right)} \right)}^{\prime }}=\frac{{u}'\left( x \right)v\left( x \right)-u\left( x \right){v}'\left( x \right)}{{{v}^{2}}\left( x \right)},\ v\left( x \right)\ne 0\]

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную функции y\left( x \right)=2{{\log }_{2}}x-{{3}^{x}}+4
Решение Искомая производная равна:

    \[{y}'\left( x \right)={{\left( 2{{\log }_{2}}x-{{3}^{x}}+4 \right)}^{\prime }}={{\left( 2{{\log }_{2}}x \right)}^{\prime }}-{{\left( {{3}^{x}} \right)}^{\prime }}+{{\left( 4 \right)}^{\prime }}=\]

    \[=2\cdot {{\left( {{\log }_{2}}x \right)}^{\prime }}-{{3}^{x}}\ln 3+0=\frac{2}{x\ln 2}-{{3}^{x}}\ln 3\]

Ответ {y}'\left( x \right)=\frac{2}{x\ln 2}-{{3}^{x}}\ln 3
ПРИМЕР 2
Задание Продифференцировать функцию

    \[ y\left( x \right)=\sin x-\frac{x+1}{x-2} \]

Решение Искомая производная

    \[{y}'\left( x \right)={{\left( \sin x-\frac{x+1}{x-2} \right)}^{\prime }}\]

Производная разности равна разности производных:

    \[{y}'\left( x \right)={{\left( \sin x \right)}^{\prime }}-{{\left( \frac{x+1}{x-2} \right)}^{\prime }}\]

Производную первого слагаемого найдем по таблице производных, второго – как производную частного:

    \[{y}'\left( x \right)=\cos x-\frac{{{\left( x+1 \right)}^{\prime }}\cdot \left( x-2 \right)-\left( x+1 \right)\cdot {{\left( x-2 \right)}^{\prime }}}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\cos x-\frac{1\cdot \left( x-2 \right)-\left( x+1 \right)\cdot 1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\]

    \[=\cos x-\frac{x-2-x-1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\cos x+\frac{3}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\]

Ответ