Производная первого порядка

Производная первого порядка функции $y = f(x)$ , заданной явно, находится с помощью таблицы производных

а также правил дифференцирования (нахождения производных):

Константу можно выносить за знак производной:
$(c \cdot u(x))' = c \cdot (u(x))' ;$
Производная суммы/разности:
$(u \pm v)' = u' \pm v'$
Производная произведения:
$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$
Производная частного двух функций:
$\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ПРИМЕР

Задание

Найти производную функции, заданной явно

$y = x^2 - 3x + \frac{x}{x + 1}$

Решение

Искомая производная

$y' = \left( x^2 - 3x + \frac{x}{x+1} \right)'$

Производная суммы/разности функций равна сумме/разности их производных, то есть:

$y' = \left( x^2 \right)' - (3x)' + \left( \frac{x}{x+1} \right)'$

Производную первого слагаемого находим по таблице производных как производную степенной функции $\left( x^n \right)' = nx^{n-1} ,$ тогда

$\left( x^2 \right)' = 2x^{2 - 1} = 2x$

Во втором слагаемом, согласно свойствам производных, вначале вынесем константу 3 за знак производной:

$(3x)' = 3 \cdot (x)'$

А затем производную найдем по выше предложенной формуле производной степенной функции:

$(3x)' = 3 \cdot (x)' = 3 \cdot \left( x^1 \right)' = 3 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 3 \cdot x^0 = 3 \cdot 1 = 3$

Производную третьего слагаемого находим как производную частного по формуле $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - vu'}{v^2} \right)$ . Для $u = x , v = x+1$ будем иметь:

$\left( \frac{x}{x + 1} \right)' = \frac{(x)' \cdot (x + 1) - x \cdot (x +1)'}{(x + 1)^2} = \frac{1 \cdot (x + 1) - x \cdot \left[ (x)' + (1)' \right]}{(x + 1)^2} =$

$= \frac{x + 1 - x \cdot (1 + 0)}{(x + 1)^2} = \frac{x + 1 - x}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x +1)^2}$

А таким образом, для заданной функции имеем:

$y' = 2x - 3 + \frac{1}{(x+1)^2}$

Ответ

Производная первого порядка параметрической функции

В случае если функция $y = y(x)$ задана параметрически в виде $\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases} ,\text{ }t$ – параметр, то первая производная такой функции находится по формуле:

$y'(x) = \frac{y'_t}{x'_t}$

ПРИМЕР

Задание

Найти первую производную функции заданной параметрически

$\begin{cases} x = \ln t \\ y = t^2 - 1 \end{cases}$

Решение

Согласно формуле, нам необходимо найти производные каждой из функций по параметру $t$ :

$x'_t = (\ln t)'_t = \frac{1}{t}$

$y'_t = \left( t^2 - 1 \right)'_t = \left( t^2 \right)'_t - (1)'_t = 2t - 0 = 2t$

Тогда искомая производная

$y'(x) = \frac{y'_t}{x'_t} = \frac{2t}{\frac{1}{t}} = 2t \cdot t = 2t^2$

Ответ

$y'(x) = 2t^2$

Производная первого порядка неявной функции

Если функция $y = y(x)$ задана неявно равнение $F(x ; y(x)) = 0$ или $F(x ; y(x)) = G(x ; y(x)) ,$ то для нахождения первой производной $y = y'(x)$ поступают следующим образом:

дифференцируют левую и правую части заданного равенства:
$(F(x ; y(x)))' = (0)'$

или

$(F(x ; y(x)))' = (G(x ; y(x)))' ;$
находят производные от каждой из частей равенства, используя таблицу производных и правила дифференцирования, а также учитывают, что $y$ – сложная функция;
из полученного равенства выражают $y'$ .