Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная первого порядка

Производная первого порядка функции y = f(x) , заданной явно, находится с помощью таблицы производных

а также правил дифференцирования (нахождения производных):

  1. Константу можно выносить за знак производной:

        \[    (c \cdot u(x))' = c \cdot (u(x))' ;    \]

  2. Производная суммы/разности:

        \[    (u \pm v)' = u' \pm v'    \]

  3. Производная произведения:

        \[    (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'    \]

  4. Производная частного двух функций:

        \[    \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}    \]

ПРИМЕР
Задание Найти производную функции, заданной явно

    \[ 				y = x^2 - 3x + \frac{x}{x + 1} 				\]

Решение Искомая производная

    \[ 				y' = \left( x^2 - 3x + \frac{x}{x+1} \right)' 				\]

Производная суммы/разности функций равна сумме/разности их производных, то есть:

    \[ 				y' = \left( x^2 \right)' - (3x)' + \left( \frac{x}{x+1} \right)' 				\]

Производную первого слагаемого находим по таблице производных как производную степенной функции \left( x^n \right)' = nx^{n-1} , тогда

    \[ 				\left( x^2 \right)' = 2x^{2 - 1} = 2x 				\]

Во втором слагаемом, согласно свойствам производных, вначале вынесем константу 3 за знак производной:

    \[ 				(3x)' = 3 \cdot (x)' 				\]

А затем производную найдем по выше предложенной формуле производной степенной функции:

    \[ 				(3x)' = 3 \cdot (x)' = 3 \cdot \left( x^1 \right)' = 3 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 3 \cdot x^0 = 3 \cdot 1 = 3 				\]

Производную третьего слагаемого находим как производную частного по формуле \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - vu'}{v^2} \right) . Для u = x , v = x+1 будем иметь:

    \[ 				\left( \frac{x}{x + 1} \right)' = \frac{(x)' \cdot (x + 1) - x \cdot (x +1)'}{(x + 1)^2} = \frac{1 \cdot (x + 1) - x \cdot \left[ (x)' + (1)' \right]}{(x + 1)^2} = 				\]

    \[ 				= \frac{x + 1 - x \cdot (1 + 0)}{(x + 1)^2} = \frac{x + 1 - x}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x +1)^2} 				\]

А таким образом, для заданной функции имеем:

    \[ 				y' = 2x - 3 + \frac{1}{(x+1)^2} 				\]

Ответ

Производная первого порядка параметрической функции

В случае если функция y = y(x) задана параметрически в виде \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases} ,\text{ }t – параметр, то первая производная такой функции находится по формуле:

    \[ y'(x) = \frac{y'_t}{x'_t} \]

ПРИМЕР
Задание Найти первую производную функции заданной параметрически

    \[ 				\begin{cases} x = \ln t \\ y = t^2 - 1 \end{cases} 				\]

Решение Согласно формуле, нам необходимо найти производные каждой из функций по параметру t :

    \[ 				x'_t = (\ln t)'_t = \frac{1}{t} 				\]

    \[ 				y'_t = \left( t^2 - 1 \right)'_t = \left( t^2 \right)'_t - (1)'_t = 2t - 0 = 2t 				\]

Тогда искомая производная

    \[ 				y'(x) = \frac{y'_t}{x'_t} = \frac{2t}{\frac{1}{t}} = 2t \cdot t = 2t^2 				\]

Ответ y'(x) = 2t^2

Производная первого порядка неявной функции

Если функция y = y(x) задана неявно равнение F(x ; y(x)) = 0 или F(x ; y(x)) = G(x ; y(x)) , то для нахождения первой производной y = y'(x) поступают следующим образом:

  1. дифференцируют левую и правую части заданного равенства:

        \[    (F(x ; y(x)))' = (0)'     \]

    или

        \[    (F(x ; y(x)))' = (G(x ; y(x)))' ;    \]

  2. находят производные от каждой из частей равенства, используя таблицу производных и правила дифференцирования, а также учитывают, что y – сложная функция;
  3. из полученного равенства выражают y' .
ПРИМЕР
Задание Найти производную y' функции, заданной неявно уравнением x^2 + xy - \cos y = x
Решение Дифференцируем обе части заданного равенства:

    \[ 				\left( x^2 + xy - \cos y \right)' = (x)' 				\]

Согласно правилам дифференцирования и таблице производных, имеем:

    \[ 				\left( x^2 \right)' + (xy)' - (\cos y)' = 1 				\]

    \[ 				2x + (x)' \cdot y + x \cdot (y)' - (-\sin y)(y)' = 1 				\]

    \[ 				2x + 1 \cdot y + x \cdot (y)' + \sin y \cdot y' = 1 				\]

    \[ 				2x + y + x \cdot y' + \sin y \cdot y' = 1 				\]

Из полученного равенства находим y' :

    \[ 				(x + \sin y) \cdot y' = 1 - 2x - y \text{ } \Rightarrow \text{ } y' = \frac{1 - 2x - y}{x + \sin y} 				\]

Ответ