Частная производная функции нескольких переменных

Понятие функции одной переменной можно обобщить на случай двух и большего числа аргументов.

Рассмотрим значения $x \in X$ и $y \in Y .$ Если задан закон, согласно которому каждой паре $(x; y)$ ставится в соответствие единственное числовое значение $z ,$ то говорят, что задана функция двух переменных. Обычно такая функция обозначается в виде $z = z(x; y) .$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Для функций нескольких переменных вводится понятие частной производной первого порядка, то есть производной функции по одной из переменной при условии, что остальные переменные фиксированы, то есть являются константами. Например, для функции двух переменных $z = z(x; y)$ рассматриваются частные производные по переменной $x$ и по переменной $y .$ Они обозначаются соответственно:

$\frac{\partial z}{\partial x} = z_x' \text{ },\text{ } \frac{\partial z}{\partial y} = z'_y$

Если найти производные по каждой из переменных от частных производных первого порядка, то получим частные производные второго порядка:

$\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = z''_{xx} \text{ },\text{ } \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right) = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = z''_{yy}$

$\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = z''_{xy} \text{ },\text{ } \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right) = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = z''_{yx}$

Последние две производные называются смешанными производными.

Если смешанные частные производные являются непрерывными функциями, то они не зависят от порядка дифференцирования, то есть имеет место равенство

$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$

Примеры вычисления частных производных

ПРИМЕР 1

Задание	Найти частную производную по переменной $y$ функции $z(x; y) = \ln \frac{y}{x}$
Решение	При дифференцировании по указанной переменной, вторая переменная, то есть $x ,$ считается константой. Тогда $z'_y = \left( \ln \frac{y}{x} \right)'_y = \frac{1}{\frac{y}{x}} \cdot \left( \frac{y}{x} \right)'_y = \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{x} (y)'_y = \frac{1}{y} \cdot 1 = \frac{1}{y}$
Ответ	$z_y' = \frac{1}{y}$

ПРИМЕР 2

Задание

Найти смешанную производную функции $z = \sin (xy)$

Решение

Вначале найдем частную производную первого порядка по любой из переменных, например, по $x :$

$z_x' = (\sin (xy))'_x = \cos(xy) \cdot (xy)'_x = \cos(xy) \cdot y \cdot(x)'_x = y \cos (xy) \cdot 1 = y \cos (xy)$

Для нахождения смешанной производной продифференцируем теперь полученное выражение по переменной $y :$

$z''_{xy} = (y \cos (xy))'_y = (y)'_y \cos (xy) + y \cdot (\cos (xy))'_y = \cos(xy) - xy \sin(xy)$

Ответ

$z''_{xy} =\cos (xy) - xy \sin (xy)$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!