Частная производная функции нескольких переменных
Понятие функции одной переменной можно обобщить на случай двух и большего числа аргументов.
Рассмотрим значения и Если задан закон, согласно которому каждой паре ставится в соответствие единственное числовое значение то говорят, что задана функция двух переменных. Обычно такая функция обозначается в виде
Если найти производные по каждой из переменных от частных производных первого порядка, то получим частные производные второго порядка:
Последние две производные называются смешанными производными.
Если смешанные частные производные являются непрерывными функциями, то они не зависят от порядка дифференцирования, то есть имеет место равенство
Примеры вычисления частных производных
Задание | Найти частную производную по переменной функции
|
Решение | При дифференцировании по указанной переменной, вторая переменная, то есть считается константой. Тогда
|
Ответ |
Задание | Найти смешанную производную функции |
Решение | Вначале найдем частную производную первого порядка по любой из переменных, например, по
Для нахождения смешанной производной продифференцируем теперь полученное выражение по переменной
|
Ответ |