Разность квадратов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Разность квадратов двух выражений равна произведению их суммы и разности.

$a^{2}-b^{2} = (a+b)(a-b)$

Левую и правую части можно поменять местами, тогда получаем:

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

Формула «разность квадратов» очень удобна для разложения многочленов на множители.

Примеры решения задач по теме «Разность квадратов»

ПРИМЕР 1

Задание	Найти произведение двучленов $(3x-2y)$ и $(3x+2y)$ .
Решение	Воспользуемся формулой «разность квадратов», будем иметь: $(3x-2y) \cdot (3x+2y) = (3x)^{2} - (2y)^{2} = 9x^{2}-4y^{2}$
Ответ	$(3x-2y)(3x+2y) = 9x^{2}-4y^{2}$

ПРИМЕР 2

Задание

Разложить на множители выражение $x^{2}-16y^{2}$ .

Решение

Представим данное выражение в виде:

$x^{2}-16y^{2}=x^{2}-(4y)^{2}$

Тогда, согласно формуле «разность квадратов», получаем:

$x^{2}-16y^{2}=x^{2}-(4y)^{2}=(x-4y)(x+4y)$

Ответ

$x^{2}-16y^{2}=(x-4y)(x+4y)$

Используя формулу «разность квадратов» промежуточные вычисления можно проделывать устно и записывать только конечный результат.

Геометрическое доказательство

Для положительных чисел $a$ и $b$ формулу $a^{2}-b^{2} = (a+b)(a-b)$ можно проиллюстрировать геометрически (рис. 1). Но, отметим, что это тождество верно не только для положительных чисел, но и для любых чисел, а также выражений.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Разность квадратов

Примеры решения задач по теме «Разность квадратов»

Геометрическое доказательство