Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Пружинный маятник

Определения и формулы пружинного маятника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пружинный маятник – это колебательная система, состоящая из материальной точки и пружины (рис.1).

Рис.1. Пружинный маятник: а) в положении равновесия; б) в состоянии колебаний

Когда пружина не деформирована, тело находится в положении равновесия (рис.1,а). Если растянув или сжав пружину, вывести тело из положения равновесия, на него будет действовать сила упругости \overline{F} со стороны деформированной пружины. Эта сила направлена к положению равновесия и в данном случае является возвращающей силой.

Сила упругости в пружинном маятнике

Сила упругости пропорциональна смещению тела (удлинению пружины):

    \[F=-kx,\]

здесь k — коэффициент жесткости пружины.

В положении, соответствующем максимальному отклонению тела от положения равновесия (смещение тела равно амплитуде колебаний) сила упругости максимальна, поэтому максимально и ускорение тела. По мере приближения тела к положению равновесия удлинение пружины уменьшается, и, следовательно, уменьшается ускорение тела, которое обусловлено силой упругости. Достигнув положения равновесия, тело не остановится, хотя в этот момент сила упругости равна нулю. Скорость тела в момент прохождения им положения равновесия имеет максимальное значение, и тело по инерции будет двигаться дальше, растягивая пружину. Возникающая при этом сила упругости будет тормозить тело, так как теперь она направлена в сторону, противоположную движению тела. Дойдя до крайнего положения, тело остановится и начнет движение в противоположном направлении. Движение тела будет повторяться в описанной последовательности.

Таким образом, причинами свободных колебаний пружинного маятника является сила упругости деформированной пружины (возвращающая сила) и инертность тела.

Период свободных колебаний пружинного маятника

Период свободных колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

    \[T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание На какое расстояние надо отвести от положения равновесия груз массой 640 г, закрепленный на пружине жесткостью 0,4 кН/м, чтобы он проходил положение равновесия со скоростью 1 м/с?
Решение Движение пружинного маятника происходит по гармоническому закону:

    \[x=A\sin \left(\omega t+{\varphi }_0\right)\]

Начальная фаза колебаний в данном случае равна нулю, поэтому можно записать:

    \[x=A\sin \omega t\]

Положение равновесия тело проходит с максимальной скоростью. Найдем закон изменения скорости тела со временем:

    \[v=x'=A\omega \cos \omega t,\]

откуда максимальное значение скорости:

    \[v_{max}=A\omega \]

Период колебаний пружинного маятника определяется формулой:

    \[T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\]

Циклическая частота:

    \[\omega =\frac{2\pi }{T}=\sqrt{\frac{k}{m}}\]

Подставив значение циклической частоты в соотношение для максимальной скорости, получим:

    \[v_{max}=A\sqrt{\frac{k}{m}}\]

откуда амплитуда колебаний маятника:

    \[A=v_{max}\sqrt{\frac{m}{k}}\]

Переведем единицы в систему СИ: масса груза m=640 г =0,64 кг; коэффициент жесткости пружины k=0,4 кН/м =400 Н/м.

Вычислим:

    \[A=1\cdot \sqrt{\frac{0,64}{400}}=0,04\ m=4\ cm\ \]

Ответ Груз нужно отвести на расстояние 4 см от положения равновесия.
ПРИМЕР 2
Задание Если к некоторому грузу, колеблющемуся на пружине, подвесить гирю массой 100 г, то частота колебаний маятника уменьшится в 1,5 раза. Какой массы груз был первоначально подвешен к пружине?
Решение Период колебаний пружинного маятника определяется формулой:

    \[T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\]

Частота колебаний маятника:

    \[\nu =\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\ \]

Частота колебаний маятника до того, как подвесили гирю:

    \[{\nu }_1=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\ \]

Частота колебаний маятника после того, как подвесили гирю:

    \[{\nu }_2=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m+m_0}}\ \]

По условию задачи {\nu }_1=1,5{\nu }_2 , т.е. можно записать:

    \[\sqrt{\frac{k}{m}}=1,5\sqrt{\frac{k}{m+m_0}}\]

Возведем обе части в квадрат и найдем массу первоначального груза:

    \[\frac{k}{m}={1,5}^2\cdot \frac{k}{m+m_0};\]

    \[{1,5}^2m=m+m_0;\]

    \[2,25m-m=m_0;\]

    \[1,25m=m_0;\]

    \[m=\frac{m_0}{1,25}\ \]

Переведем единицы в систему СИ: масса гири m_0=100 г =0,1 кг.

Вычислим:

    \[m=\frac{0,1}{1,25}=0,08\ kg=80\ g\]

Ответ Первоначально к пружине был подвешен груз массой 80 г.