Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Косинус угла

Определение и формула косинуса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \Delta ABC, \angle C={{90}^{\circ }},  AB или c – гипотенуза, а AC или b и BC или a – катеты прилежащие соответственно к острым углам \alpha и \beta (рис. 1).

Рис. 1

В этих обозначениях косинусы острых углов запишутся следующим образом

    \[ \cos \alpha =\frac{b}{c} \quad \cos \alpha =\frac{AC}{AB} \]

    \[ \cos \beta =\frac{a}{c} \quad \cos \beta =\frac{BC}{AB} \]

Рассмотрим единичную тригонометрическую окружность с центром в начале координат. Выберем произвольный угол \alpha (рис. 2), которому на единичной окружности соответствует точка A \left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right).

Рис. 2

Опустим перпендикуляр AB из точки A на ось Ox. Тогда

    \[\cos \alpha =\frac{BO}{AO},\]

учитывая, что радиус окружности AO=1, то

    \[\cos \alpha =BO={{x}_{0}},\]

то есть косинусом угла \alpha есть абсцисса точки A.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен {{30}^{\circ }}, а гипотенуза равна 2\sqrt{3} см. Найти катет, прилежащий к заданному углу.
Решение Обозначим гипотенузу c=2\sqrt{3}, острый угол \alpha ={{30}^{\circ }}, тогда искомый прилежащий катет b. По определению отношение прилежащего катета к гипотенузе равно косинусу. Тогда, во введенных обозначениях, это запишется следующим образом:

    \[\cos \alpha =\frac{b}{c}\]

Выразим из этого соотношения искомый катет: b=c\cdot \cos \alpha . Подставим в последнее равенство заданные значения, получим

    \[b=2\sqrt{3}\cdot \cos {{30}^{\circ }}\ \quad  \Rightarrow \ \quad  b=2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\ \quad  \Rightarrow \ \quad  b=3 cm\]

Ответ b=3 см
ПРИМЕР 2
Задание Один из катетов прямоугольного треугольника равен 3 см, а гипотенуза равна 6. Найти градусную меру угла между ними.
Решение Обозначим заданный катет a=3, а гипотенузу c=6, тогда угол между ними обозначим \beta . Отношение прилежащего к некоторому острому углу катета к гипотенузе равно косинусу этого угла. В веденных обозначениях это соотношение запишется следующим образом

    \[\cos \beta =\frac{a}{c}\]

Подставим в это равенство заданные значения сторон, получим

    \[\cos \beta =\frac{3}{6}\ \quad  \Rightarrow \ \quad  \cos \beta =\frac{1}{2}\ \quad  \Rightarrow \ \quad  \beta ={{60}^{\circ }}\]

Ответ \beta ={{60}^{\circ }}