Тригонометрические функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Тригонометрические функции – это математические функции, зависящие от угла. Определяют тригонометрические функции обычно как отношения сторон прямоугольного треугольника или длины определённых отрезков в единичной окружности.

Определения и формулы всех тригонометрических функций

Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник $\Delta ABC, \angle C ={{90}^{\circ }}$ , углы $\alpha$ и $\beta$ – острые. (рис. 1). Тогда $AB=c$ – гипотенуза (это сторона противолежащая прямому углу), самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике. Катет $BC=a$ – это катет, являющийся противолежащим по отношению к углу $\alpha$ . Катет $AC=b$ – это катет, прилежащий к углу $\alpha$ .

Рис. 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Синусом угла $\alpha$ называется отношение противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$ или

$\sin \alpha =\frac{a}{c}$

Это отношение не зависит от выбора $\Delta ABC$ , содержащего угол $\alpha$ , так как все такие треугольники подобны.

Подробнее про синус угла читайте по ссылке.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Косинусом угла $\alpha$ называется отношение прилежащего катета $AC$ к гипотенузе $AB$ или

$\cos \alpha =\frac{b}{c}$

Подробнее про косинус угла читайте по ссылке.

Замечание 1. Катет AC, прилежащий к углу $\alpha$ , является противолежащим по отношению к углу $\beta$ . Аналогично с катетом $BC$ , он противолежащий для угла $\alpha$ и прилежащий к углу $\beta$ . Таким образом, синус одного острого угла в треугольнике равен косинусу второго его острого угла, и наоборот:

$\sin \alpha =\frac{a}{c}=\cos \beta ; \ \cos \alpha =\frac{b}{c}=\sin \beta$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Тангенсом угла $\alpha$ называется отношение противолежащего катета $BC$ к прилежащему катету AC или

$\text{tg}\alpha =\frac{a}{b}$

Также тангенс выражается через косинус и синус следующим образом:

$\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Котангенсом угла $\alpha$ называется отношение прилежащего катета AC к противолежащему катету $BC$ или

$\text{ctg}\alpha =\frac{b}{a}$

Котангенс выражается через косину и синус следующим образом:

$\text{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$

Замечание 2. Котангенс одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен тангенсу второго его острого угла, и наоборот:

$\text{tg}\alpha =\text{ctg}\beta =\frac{a}{b}; \qquad \text{ctg}\alpha =\text{tg}\beta =\frac{b}{a}$

Секансом угла $\alpha$ называется отношение гипотенузы $AB$ к прилежащему катету или

$\sec \alpha =\frac{c}{b}$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Секанс выражается через косинус следующим образом:

$\sec \alpha =\frac{1}{\cos \alpha }$

Косекансом угла $\alpha$ называется отношение гипотенузы $AB$ к противолежащему катету $BC$ или

$\text{cosec}\alpha =\frac{c}{a}$

Косеканс можно выразить через синус:

$\text{cosec}\alpha =\frac{1}{\sin \alpha }$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

В прямоугольном треугольнике катеты имеют длины 4 см и 3 см. Вычислить значения всех тригонометрических функций для угла прилежащего к меньшему катету.

Рис. 2

Решение

Сделаем рисунок (рис. 2). По условию, $a=4$ см, $b=3$ см, а угол $\alpha$ есть угол, прилежащий к меньшему катету. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы:

${c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2} \Rightarrow {{c}^{2}}={{4}^{2}}+{{3}^{2}} \Rightarrow {{c}^{2}}=16+9 \Rightarrow {{c}^{2}}=25 \Rightarrow c=5 cm$

По определению, синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin \alpha =\frac{a}{c} \text{ } \Rightarrow \text{ } \sin \alpha =\frac{4}{5}$

Косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе

$\cos \alpha =\frac{b}{c} \text{ } \Rightarrow \text{ } \cos \alpha =\frac{3}{5}$

Тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету

$\text{tg}\alpha =\frac{a}{b} \text{ } \Rightarrow \text{ } \text{tg}\alpha =\frac{4}{3}$

Котангенс – это отношение прилежащего катета к противолежащему катету

$\text{ctg}\alpha =\frac{b}{a} \text{ } \Rightarrow \text{ } \text{ctg}\alpha =\frac{3}{4}$

Секанс – это отношение гипотенузы к прилежащему катету

$\sec \alpha =\frac{c}{b} \text{ } \Rightarrow \text{ } \sec \alpha =\frac{5}{3}$

Косеканс – это отношение гипотенузы к противолежащему катету

$\text{cosec}\alpha =\frac{c}{a} \text{ } \Rightarrow \text{ } \text{cosec}\alpha =\frac{5}{4}$

Ответ

Примечание. Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 называется «египетским треугольником». Это простейший треугольник из Героновых треугольников – треугольников с целочисленными сторонами и площадями.

ПРИМЕР 2

Задание

В прямоугольном треугольнике гипотенуза и один из катетов равны соответственно 13 и 5 см. Найти значение косинуса, синуса, тангенса и котангенса для острых углов этого треугольника.

Рис. 3

Решение

Рассматриваемый треугольник изображен на рисунке 3. По условию задачи гипотенуза c равна 13 см, а меньший катета $b=5$ см. По теореме Пифагора найдем больший катет:

${{a}^{2}}={{c}^{2}}-{{b}^{2}} \Rightarrow {{a}^{2}}={{13}^{2}}-{{5}^{2}}\Rightarrow {{a}^{2}}=169-25\Rightarrow {{a}^{2}}=144\Rightarrow a=12 cm$

Перейдем к нахождению значений тригонометрических функций. Согласно замечанию 1,

$\sin \alpha =\frac{a}{c}=\cos \beta ; \text{ } \cos \alpha =\frac{b}{c}=\sin \beta$

Подставляя заданные значения длины сторон, получим

$\sin \alpha =\cos \beta =\frac{12}{13}; \text{ } \cos \alpha =\sin \beta =\frac{5}{13}$

По замечанию 2, $\text{tg}\alpha =\text{ctg}\beta =\frac{a}{b}$ и $\text{ctg}\alpha =\text{tg}\beta =\frac{b}{a}$ . Учитывая заданные значения сторон, получим

$\text{tg}\alpha =\text{ctg}\beta =\frac{12}{5}; \text{ } \text{ctg}\alpha =\text{tg}\beta =\frac{5}{12}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Тригонометрические функции

Определения и формулы всех тригонометрических функций

Примеры решения задач