Тригонометрические функции
Определения и формулы всех тригонометрических функций
Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник , углы и – острые. (рис. 1). Тогда – гипотенуза (это сторона противолежащая прямому углу), самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике. Катет – это катет, являющийся противолежащим по отношению к углу . Катет – это катет, прилежащий к углу .
Рис. 1
Это отношение не зависит от выбора , содержащего угол , так как все такие треугольники подобны.
Подробнее про синус угла читайте по ссылке.
Подробнее про косинус угла читайте по ссылке.
Замечание 1. Катет AC, прилежащий к углу , является противолежащим по отношению к углу . Аналогично с катетом , он противолежащий для угла и прилежащий к углу . Таким образом, синус одного острого угла в треугольнике равен косинусу второго его острого угла, и наоборот:
Также тангенс выражается через косинус и синус следующим образом:
Котангенс выражается через косину и синус следующим образом:
Замечание 2. Котангенс одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен тангенсу второго его острого угла, и наоборот:
Секансом угла называется отношение гипотенузы к прилежащему катету или
Косекансом угла называется отношение гипотенузы к противолежащему катету или
Косеканс можно выразить через синус:
Примеры решения задач
Задание | В прямоугольном треугольнике катеты имеют длины 4 см и 3 см. Вычислить значения всех тригонометрических функций для угла прилежащего к меньшему катету.
Рис. 2 |
Решение | Сделаем рисунок (рис. 2). По условию, см, см, а угол есть угол, прилежащий к меньшему катету. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы:
По определению, синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе
Тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету
Котангенс – это отношение прилежащего катета к противолежащему катету
Секанс – это отношение гипотенузы к прилежащему катету
Косеканс – это отношение гипотенузы к противолежащему катету
|
Ответ |
Примечание. Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 называется «египетским треугольником». Это простейший треугольник из Героновых треугольников – треугольников с целочисленными сторонами и площадями.
Задание | В прямоугольном треугольнике гипотенуза и один из катетов равны соответственно 13 и 5 см. Найти значение косинуса, синуса, тангенса и котангенса для острых углов этого треугольника.
Рис. 3 |
Решение | Рассматриваемый треугольник изображен на рисунке 3. По условию задачи гипотенуза c равна 13 см, а меньший катета см. По теореме Пифагора найдем больший катет:
Перейдем к нахождению значений тригонометрических функций. Согласно замечанию 1,
Подставляя заданные значения длины сторон, получим
По замечанию 2, и . Учитывая заданные значения сторон, получим
|
Ответ |