Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Тригонометрические функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Тригонометрические функции – это математические функции, зависящие от угла. Определяют тригонометрические функции обычно как отношения сторон прямоугольного треугольника или длины определённых отрезков в единичной окружности.

Определения и формулы всех тригонометрических функций

Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник \Delta ABC, \angle C ={{90}^{\circ }}, углы \alpha и \beta – острые. (рис. 1). Тогда AB=c – гипотенуза (это сторона противолежащая прямому углу), самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике. Катет BC=a – это катет, являющийся противолежащим по отношению к углу \alpha. Катет AC=b – это катет, прилежащий к углу \alpha.

Рис. 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Синусом угла \alpha называется отношение противолежащего катета BC к гипотенузе AB или

    \[\sin \alpha =\frac{a}{c}\]

Это отношение не зависит от выбора \Delta ABC, содержащего угол \alpha, так как все такие треугольники подобны.

Подробнее про синус угла читайте по ссылке.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Косинусом угла \alpha называется отношение прилежащего катета AC к гипотенузе AB или

    \[\cos \alpha =\frac{b}{c}\]

Подробнее про косинус угла читайте по ссылке.

Замечание 1. Катет AC, прилежащий к углу \alpha, является противолежащим по отношению к углу \beta. Аналогично с катетом BC, он противолежащий для угла \alpha и прилежащий к углу \beta. Таким образом, синус одного острого угла в треугольнике равен косинусу второго его острого угла, и наоборот:

    \[\sin \alpha =\frac{a}{c}=\cos \beta ; \ \cos \alpha =\frac{b}{c}=\sin \beta \]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Тангенсом угла \alpha называется отношение противолежащего катета BC к прилежащему катету AC или

    \[\text{tg}\alpha =\frac{a}{b}\]

Также тангенс выражается через косинус и синус следующим образом:

    \[\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Котангенсом угла \alpha называется отношение прилежащего катета AC к противолежащему катету BC или

    \[\text{ctg}\alpha =\frac{b}{a}\]

Котангенс выражается через косину и синус следующим образом:

    \[\text{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\]

Замечание 2. Котангенс одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен тангенсу второго его острого угла, и наоборот:

    \[\text{tg}\alpha =\text{ctg}\beta =\frac{a}{b}; \qquad \text{ctg}\alpha =\text{tg}\beta =\frac{b}{a}\]

Секансом угла \alpha называется отношение гипотенузы AB к прилежащему катету или

    \[\sec \alpha =\frac{c}{b}\]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Секанс выражается через косинус следующим образом:

    \[\sec \alpha =\frac{1}{\cos \alpha }\]

Косекансом угла \alpha называется отношение гипотенузы AB к противолежащему катету BC или

    \[\text{cosec}\alpha =\frac{c}{a}\]

Косеканс можно выразить через синус:

    \[ \text{cosec}\alpha =\frac{1}{\sin \alpha } \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В прямоугольном треугольнике катеты имеют длины 4 см и 3 см. Вычислить значения всех тригонометрических функций для угла прилежащего к меньшему катету.

Рис. 2

Решение Сделаем рисунок (рис. 2). По условию, a=4 см, b=3 см, а угол \alpha есть угол, прилежащий к меньшему катету. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы:

    \[{c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2} \Rightarrow {{c}^{2}}={{4}^{2}}+{{3}^{2}} \Rightarrow {{c}^{2}}=16+9 \Rightarrow  {{c}^{2}}=25 \Rightarrow  c=5 cm \]

По определению, синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

    \[\sin \alpha =\frac{a}{c} \text{ } \Rightarrow \text{ } \sin \alpha =\frac{4}{5}\]

Косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе

    \[\cos \alpha =\frac{b}{c} \text{ } \Rightarrow \text{ } \cos \alpha =\frac{3}{5}\]

Тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету

    \[\text{tg}\alpha =\frac{a}{b} \text{ } \Rightarrow \text{ } \text{tg}\alpha =\frac{4}{3}\]

Котангенс – это отношение прилежащего катета к противолежащему катету

    \[\text{ctg}\alpha =\frac{b}{a} \text{ } \Rightarrow \text{ } \text{ctg}\alpha =\frac{3}{4}\]

Секанс – это отношение гипотенузы к прилежащему катету

    \[\sec \alpha =\frac{c}{b} \text{ } \Rightarrow \text{ } \sec \alpha =\frac{5}{3}\]

Косеканс – это отношение гипотенузы к противолежащему катету

    \[\text{cosec}\alpha =\frac{c}{a} \text{ } \Rightarrow \text{ } \text{cosec}\alpha =\frac{5}{4}\]

Ответ

Примечание. Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 называется «египетским треугольником». Это простейший треугольник из Героновых треугольников – треугольников с целочисленными сторонами и площадями.

ПРИМЕР 2
Задание В прямоугольном треугольнике гипотенуза и один из катетов равны соответственно 13 и 5 см. Найти значение косинуса, синуса, тангенса и котангенса для острых углов этого треугольника.

Рис. 3

Решение Рассматриваемый треугольник изображен на рисунке 3. По условию задачи гипотенуза c равна 13 см, а меньший катета b=5 см. По теореме Пифагора найдем больший катет:

    \[{{a}^{2}}={{c}^{2}}-{{b}^{2}} \Rightarrow  {{a}^{2}}={{13}^{2}}-{{5}^{2}}\Rightarrow  {{a}^{2}}=169-25\Rightarrow  {{a}^{2}}=144\Rightarrow  a=12 cm\]

Перейдем к нахождению значений тригонометрических функций. Согласно замечанию 1,

    \[\sin \alpha =\frac{a}{c}=\cos \beta ; \text{ } \cos \alpha =\frac{b}{c}=\sin \beta \]

Подставляя заданные значения длины сторон, получим

    \[\sin \alpha =\cos \beta =\frac{12}{13}; \text{ } \cos \alpha =\sin \beta =\frac{5}{13}\]

По замечанию 2, \text{tg}\alpha =\text{ctg}\beta =\frac{a}{b} и \text{ctg}\alpha =\text{tg}\beta =\frac{b}{a}. Учитывая заданные значения сторон, получим

    \[\text{tg}\alpha =\text{ctg}\beta =\frac{12}{5}; \text{ } \text{ctg}\alpha =\text{tg}\beta =\frac{5}{12}\]

Ответ