Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Косинус 120 градусов

Значение косинуса 120 градусов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Косинус 120 градусов равен -\frac{1}{2}, это записывается следующим образом

    \[\cos {{120}^{\circ }}=-\frac{1}{2}\]

Действительно 120 градусов можно представить как {{180}^{\circ }}-{{60}^{\circ }}, применяя формулы приведения, имеем:

    \[\cos {{120}^{\circ }}=\cos \,\left( {{180}^{\circ }}-{{60}^{\circ }} \right)=-\cos {{60}^{\circ }}=-\frac{1}{2}\]

В радианах {{120}^{\circ }}, составит \frac{2\pi }{3}, тогда

    \[\cos \ \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}\]

На единичной окружности косинус 120 градусов располагается следующим образом (рис. 1).

Рис. 1

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти угол между векторами \bar{a} и \bar{b}, если \left| {\bar{a}} \right|=2,  \quad \left| {\bar{b}} \right|=3 и \left( \bar{a}+2\,\bar{b} \right)\left( \bar{a}-\,\bar{b} \right)=-17.
Решение Преобразуем выражение \left( \bar{a}+2\,\bar{b} \right)\left( \bar{a}-\,\bar{b} \right), используя свойства скалярного произведения:

    \[\left( \bar{a}+2\,\bar{b} \right)\left( \bar{a}-\,\bar{b} \right)={{\left| {\bar{a}} \right|}^{2}}+2\,\left( \bar{b},\,\bar{a} \right)-\left( \bar{a},\bar{b} \right)-2\cdot {{\left| \,\bar{b} \right|}^{2}}={{\left| {\bar{a}} \right|}^{2}}+\left( \bar{a},\bar{b} \right)-2\cdot {{\left| \,\bar{b} \right|}^{2}}\]

Таким образом, получили равенство

    \[\left( \bar{a}+2\,\bar{b} \right)\left( \bar{a}-\,\bar{b} \right)={{\left| {\bar{a}} \right|}^{2}}+\left( \bar{a},\bar{b} \right)-2\cdot {{\left| \,\bar{b} \right|}^{2}}\]

Подставим в него исходные данные и выразим скалярное произведение \left( \bar{a},\bar{b} \right):

    \[-17=4+\left( \bar{a},\bar{b} \right)-18;  \quad \Rightarrow  \quad \left( \bar{a},\bar{b} \right)=-4+18-17;  \quad \Rightarrow  \quad \left( \bar{a},\bar{b} \right)=-3\]

Из формулы для скалярного произведения

    \[\left( \bar{a},\,\bar{b} \right)=\left| {\bar{a}} \right|\cdot \left| {\bar{b}} \right|\cos \angle \left( \bar{a},\,\bar{b} \right),\]

выразим косинус угла между векторами

    \[\cos \angle \left( \bar{a},\,\bar{b} \right)=\frac{\left( \bar{a},\,\bar{b} \right)}{\left| {\bar{a}} \right|\cdot \left| {\bar{b}} \right|}  \quad \Rightarrow  \quad \cos \angle \left( \bar{a},\,\bar{b} \right)=\frac{-3}{2\cdot 3}  \quad \Rightarrow  \quad \cos \angle \left( \bar{a},\,\bar{b} \right)=-\frac{1}{2}  \quad \Rightarrow  \]

    \[\Rightarrow  \quad \angle \left( \bar{a},\,\bar{b} \right)={{120}^{\circ }}\]

Ответ \angle \left( \bar{a},\,\bar{b} \right)={{120}^{\circ }}
ПРИМЕР 2
Задание Две стороны треугольника относятся как 5:3, а угол между ними равен {{120}^{\circ }}. Найдите третью сторону треугольника, если его периметр равен 45 см.
Решение Сделаем рисунок (рис. 1). Обозначим AC=5x,  \quad BC=3x, тогда искомая сторона AB.

Рис. 2

Запишем для стороны AB теорему косинусов:

    \[{{AB}^{2}}={{AC}^{2}}+{{BC}^{2}}-2\cdot AC \cdot BC \cdot \cos {{120}^{\circ }}\]

Подставим в это выражение значения сторон и, учитывая, что \cos {{120}^{\circ }}=-\frac{1}{2}, получим:

    \[{{AB}^{2}}={{\left( 5x \right)}^{2}}+{{\left( 3x \right)}^{2}}-2\cdot 5x\cdot 3x\cdot \left( -\frac{1}{2} \right);\]

    \[{{AB}^{2}}=25{{x}^{2}}+9{{x}^{2}}+15{{x}^{2}}\Rightarrow {{AB}^{2}}=49{{x}^{2}}\Rightarrow AB=7x\]

Периметр треугольника равен

    \[P=AB+AC+BC;  \quad \Rightarrow  \quad P=7x+5x+3x \quad \Rightarrow  \quad P=15x\]

По условию P=45, тогда 45=15x  \quad \Rightarrow  \quad x=3. Таким образом искомая сторона равна

    \[AB=7\cdot 3=21(cm)\]

Ответ AB=21 см