Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Косинус 180 градусов

Значение косинуса 180 градусов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Косинус 180 градусов равен -1, то есть

    \[\cos {{180}^{\circ }}=-1\]

В радианах 180 градусов это \pi , таким образом

    \[\cos \,\pi =-1\]

На тригонометрическом круге косинус 180 градусов есть точка пересечения единичной окружности с осью ординат (рис. 1).

Рис. 1

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Доказать, что

    \[\cos \ \left( {{180}^{\circ }}+\alpha  \right)=-\cos \alpha \]

Доказательство Воспользуемся формулой косинуса суммы углов:

    \[\cos \,\left( \alpha +\beta  \right)=\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta ;\]

    \[\cos \ \left( {{180}^{\circ }}+\alpha  \right)=\cos {{180}^{\circ }}\cdot \cos \alpha -\sin {{180}^{\circ }}\cdot \sin \alpha \]

Учитывая, что \cos {{180}^{\circ }}=-1, а \sin {{180}^{\circ }}=0, получим:

    \[\cos \ \left( {{180}^{\circ }}+\alpha  \right)=-1\cdot \cos \alpha -0\cdot \sin \alpha \]

или

    \[\cos \ \left( {{180}^{\circ }}+\alpha  \right)=-\cos \alpha \]

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 2
Задание Найти скалярное произведение двух противоположно направленных векторов \bar{a} и \bar{b}, если \left| {\bar{a}} \right|=5,  \quad \left| {\bar{b}} \right|=4.
Решение Скалярное произведение двух векторов вычисляется по формуле

    \[\left( \bar{a},\,\bar{b} \right)=\left| {\bar{a}} \right|\cdot \left| {\bar{b}} \right|\cos \angle \left( \bar{a},\,\bar{b} \right)\]

Угол между противоположно направленными векторами составляет {{180}^{\circ }}. Тогда

    \[\left( \bar{a},\,\bar{b} \right)=5\cdot 4\cdot \cos {{180}^{\circ }}\]

Учитывая, что \cos {{180}^{\circ }}=-1, окончательно получим

    \[\left( \bar{a},\,\bar{b} \right)=5\cdot 4\cdot \left( -1 \right)=-20\]

Ответ \left( \bar{a},\,\bar{b} \right)=-20