Разность косинусов

Разность косинусов двух углов равна минус удвоенному произведению синуса полусуммы на синус полуразности этих углов. Формула разности косинусов имеет вид

$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \sin \frac{\alpha -\beta }{2}$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Преобразовать в произведение $\cos {{10}^{\circ }}-\cos {{50}^{\circ }}$

Решение

Воспользуемся формулой разности косинусов двух углов $\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \sin \frac{\alpha -\beta }{2},$ получим:

$\cos {{10}^{\circ }}-\cos {{50}^{\circ }}=-2\sin \frac{{{10}^{\circ }}+{{50}^{\circ }}}{2}\cdot \sin \frac{{{10}^{\circ }}-{{50}^{\circ }}}{2}=-2\sin {{30}^{\circ }}\cdot \sin \left( -{{20}^{\circ }} \right)$

Учитывая, что синус функция нечетная, а $\sin {{30}^{\circ }}=\frac{1}{2},$ окончательно получим:

$\cos {{10}^{\circ }}-\cos {{50}^{\circ }}=-2\cdot \frac{1}{2}\cdot \left( -\sin {{20}^{\circ }} \right)=\sin {{20}^{\circ }}$

Ответ

$\cos {{10}^{\circ }}-\cos {{50}^{\circ }}=\sin {{20}^{\circ }}$

ПРИМЕР 1

Задание

Преобразовать в произведение $\cos \ \left( 3\alpha +\frac{\pi }{3} \right)-\cos \ \left( \alpha -\frac{2\pi }{3} \right)$

Решение

Преобразуем данное выражение, используя формулу разности косинусов двух углов:

$\cos \left( 3\alpha +\frac{\pi }{3} \right)-\cos \left( \alpha -\frac{2\pi }{3} \right)=-2\sin \left( \frac{1}{2}\left( 3\alpha +\frac{\pi }{3}+\alpha -\frac{2\pi }{3} \right) \right)\cdot \sin \left( \frac{1}{2}\left( 3\alpha +\frac{\pi }{3}-\alpha +\frac{2\pi }{3} \right) \right)=$

$=-2\sin \left( \frac{1}{2}\left( 4\alpha -\frac{\pi }{3} \right) \right)\cdot \sin \left( \frac{1}{2}\left( 2\alpha +\pi \right) \right)=-2\sin \left( 2\alpha -\frac{\pi }{6} \right)\cdot \sin \left( \alpha +\frac{\pi }{2} \right)$

По формулам приведения $\sin \left( \alpha +\frac{\pi }{2} \right)=\cos \alpha ,$ тогда окончательно получим

$\cos \left( 3\alpha +\frac{\pi }{3} \right)-\cos \left( \alpha -\frac{2\pi }{3} \right)=-2\sin \left( 2\alpha -\frac{\pi }{6} \right)\cdot \sin \left( \alpha +\frac{\pi }{2} \right)=\ -2\sin \left( 2\alpha -\frac{\pi }{6} \right)\cdot \cos \alpha$

Ответ

$\cos \left( 3\alpha +\frac{\pi }{3} \right)-\cos \left( \alpha -\frac{2\pi }{3} \right)=-2\sin \left( 2\alpha -\frac{\pi }{6} \right)\cdot \cos \alpha$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Разность косинусов

Примеры решения задач