Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Разность косинусов

Разность косинусов двух углов равна минус удвоенному произведению синуса полусуммы на синус полуразности этих углов. Формула разности косинусов имеет вид

    \[  \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \sin \frac{\alpha -\beta }{2}\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Преобразовать в произведение \cos {{10}^{\circ }}-\cos {{50}^{\circ }}
Решение Воспользуемся формулой разности косинусов двух углов \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \sin \frac{\alpha -\beta }{2}, получим:

    \[\cos {{10}^{\circ }}-\cos {{50}^{\circ }}=-2\sin \frac{{{10}^{\circ }}+{{50}^{\circ }}}{2}\cdot \sin \frac{{{10}^{\circ }}-{{50}^{\circ }}}{2}=-2\sin {{30}^{\circ }}\cdot \sin \left( -{{20}^{\circ }} \right)\]

Учитывая, что синус функция нечетная, а \sin {{30}^{\circ }}=\frac{1}{2}, окончательно получим:

    \[\cos {{10}^{\circ }}-\cos {{50}^{\circ }}=-2\cdot \frac{1}{2}\cdot \left( -\sin {{20}^{\circ }} \right)=\sin {{20}^{\circ }}\]

Ответ \cos {{10}^{\circ }}-\cos {{50}^{\circ }}=\sin {{20}^{\circ }}
ПРИМЕР 1
Задание Преобразовать в произведение \cos \ \left( 3\alpha +\frac{\pi }{3} \right)-\cos \ \left( \alpha -\frac{2\pi }{3} \right)
Решение Преобразуем данное выражение, используя формулу разности косинусов двух углов:

    \[  \cos \left( 3\alpha +\frac{\pi }{3} \right)-\cos \left( \alpha -\frac{2\pi }{3} \right)=-2\sin \left( \frac{1}{2}\left( 3\alpha +\frac{\pi }{3}+\alpha -\frac{2\pi }{3} \right) \right)\cdot \sin \left( \frac{1}{2}\left( 3\alpha +\frac{\pi }{3}-\alpha +\frac{2\pi }{3} \right) \right)= \]

    \[  =-2\sin \left( \frac{1}{2}\left( 4\alpha -\frac{\pi }{3} \right) \right)\cdot \sin \left( \frac{1}{2}\left( 2\alpha +\pi  \right) \right)=-2\sin \left( 2\alpha -\frac{\pi }{6} \right)\cdot \sin \left( \alpha +\frac{\pi }{2} \right)\]

По формулам приведения \sin \left( \alpha +\frac{\pi }{2} \right)=\cos \alpha , тогда окончательно получим

    \[\cos \left( 3\alpha +\frac{\pi }{3} \right)-\cos \left( \alpha -\frac{2\pi }{3} \right)=-2\sin \left( 2\alpha -\frac{\pi }{6} \right)\cdot \sin \left( \alpha +\frac{\pi }{2} \right)=\ -2\sin \left( 2\alpha -\frac{\pi }{6} \right)\cdot \cos \alpha \]

Ответ \cos \left( 3\alpha +\frac{\pi }{3} \right)-\cos \left( \alpha -\frac{2\pi }{3} \right)=-2\sin \left( 2\alpha -\frac{\pi }{6} \right)\cdot \cos \alpha