Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Косинус умножить на косинус (произведение косинусов)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Косинус умножить на косинус будет равен полусумме косинуса разности углов и косинуса суммы углов. Формула произведения двух косинусов имеет вид

    \[  \cos \alpha \cdot \cos \beta =\frac{\cos \ \left( \alpha -\beta  \right)+\cos \ \left( \alpha +\beta  \right)}{2}\]

Вывод формулы

Эту формулу можно получить, используя формулы косинуса разности и косинуса суммы:

    \[\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta +\sin \alpha \cdot \sin \beta ; \quad \cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta \]

Действительно, сложив эти две формулы, получим

    \[\cos \left( \alpha +\beta  \right)+\cos \left( \alpha +\beta  \right)=\cos \alpha \cdot \cos \beta +\sin \alpha \cdot \sin \beta +\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta ;\]

    \[\cos \left( \alpha +\beta  \right)+\cos \left( \alpha +\beta  \right)=2\cos \alpha \cdot \cos \beta ;\]

    \[\cos \alpha \cdot \cos \beta =\frac{\cos \ \left( \alpha -\beta  \right)+\cos \ \left( \alpha +\beta  \right)}{2}\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Преобразовать в сумму произведение

    \[ \cos \frac{5\alpha }{2}\cdot \cos \frac{3\alpha }{2} \]

Решение Косинус умножить на косинус можно вычислить по формуле

    \[\cos \alpha \cdot \cos \beta =\frac{\cos \ \left( \alpha -\beta  \right)+\cos \ \left( \alpha +\beta  \right)}{2}\]

Тогда исходное выражение преобразуется следующим образом

    \[\cos \frac{5\alpha }{2}\cdot \cos \frac{3\alpha }{2}=\frac{1}{2}\left( \cos \ \left( \frac{5\alpha }{2}-\frac{3\alpha }{2} \right)+\cos \ \left( \frac{5\alpha }{2}+\frac{3\alpha }{2} \right) \right)=\frac{\cos \alpha }{2}-\frac{\cos 4\alpha }{2}\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Доказать тождество

    \[ {{\sin }^{2}}\alpha +\cos \left( \frac{\pi }{3}-\alpha  \right)\cdot \cos \left( \frac{\pi }{3}+\alpha  \right)=\frac{1}{4} \]

Доказательство Преобразуем произведение косинусов по формуле

    \[\cos \alpha \cdot \cos \beta =\frac{\cos \ \left( \alpha -\beta  \right)+\cos \ \left( \alpha +\beta  \right)}{2}\]

Тогда правая часть исходного тождества примет вид

    \[{{\sin }^{2}}\alpha +\frac{1}{2}\left( \cos \,\left( \frac{\pi }{3}-\alpha -\frac{\pi }{3}-\alpha  \right)+\cos \,\left( \frac{\pi }{3}-\alpha +\frac{\pi }{3}+\alpha  \right) \right)=\frac{1}{4};\]

    \[{{\sin }^{2}}\alpha +\frac{1}{2}\left( \cos \,\left( -2\alpha  \right)+\cos \,\frac{2\pi }{3} \right)=\frac{1}{4}\]

Учитывая, что косинус функция четная, а \cos \,\frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}, получим

    \[{{\sin }^{2}}\alpha +\frac{1}{2}\left( \cos 2\alpha -\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{4}\]

Далее, воспользуемся формулой косинуса двойного угла \cos 2\alpha =1-2{{\sin }^{2}}\alpha

    \[{{\sin }^{2}}\alpha +\frac{1}{2}\left( 1-2{{\sin }^{2}}\alpha -\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{4};\]

    \[{{\sin }^{2}}\alpha +\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}-2{{\sin }^{2}}\alpha  \right)=\frac{1}{4};\]

    \[{{\sin }^{2}}\alpha +\frac{1}{4}-{{\sin }^{2}}\alpha =\frac{1}{4};\]

    \[\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\]

Что и требовалось доказать.