Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формулы синусов и косинусов

Косинусы и синусы связаны между собою следующими тригонометрическими формулами.

Основное тригонометрическое тождество

    \[{{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\]

Тригонометрические формулы косинусов и синусов суммы и разности углов

    \[\sin \left( \alpha +\beta  \right)=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta \]

    \[\sin \left( \alpha -\beta  \right)=\sin \alpha \cdot \cos \beta -\cos \alpha \cdot \sin \beta \]

    \[\cos \left( \alpha +\beta  \right)=\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta \]

    \[\cos \left( \alpha -\beta  \right)=\cos \alpha \cdot \cos \beta +\sin \alpha \cdot \sin \beta \]

Тригонометрические формулы косинусов и синусов двойного и тройного аргументов

    \[\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \]

    \[\cos 2\alpha ={{\cos }^{2}}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha \]

    \[\cos 2\alpha =2{{\cos }^{2}}\alpha -1\]

    \[\cos 2\alpha =1-2{{\sin }^{2}}\alpha \]

    \[\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{{\sin }^{3}}\alpha \]

    \[\cos 3\alpha =4{{\cos }^{3}}\alpha -3\cos \alpha \]

Формулы понижения степени для косинуса и синуса

    \[{{\sin }^{2}}\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2},  \quad {{\cos }^{2}}\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}\]

Формулы для косинуса и синуса половинного аргумента

    \[\cos \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}};  \quad \sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}\]

Формулы преобразования произведения косинусов и синусов в сумму

    \[\sin \alpha \cdot \sin \beta =\frac{1}{2}\left[ \cos \left( \alpha -\beta  \right)-\cos \left( \alpha +\beta  \right) \right]\]

    \[\cos \alpha \cdot \cos \beta =\frac{1}{2}\left[ \cos \left( \alpha +\beta  \right)+\cos \left( \alpha -\beta  \right) \right]\]

    \[\sin \alpha \cdot \cos \beta =\frac{1}{2}\left[ \sin \left( \alpha +\beta  \right)+\sin \left( \alpha -\beta  \right) \right]\]

Формулы преобразования суммы косинусов и синусов в произведение

    \[\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \cos \frac{\alpha -\beta }{2}\]

    \[\sin \alpha -\sin \beta =2\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\cdot \cos \frac{\alpha +\beta }{2}\]

    \[\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \cos \frac{\alpha -\beta }{2}\]

    \[\cos \alpha -\cos \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \sin \frac{\beta -\alpha }{2}\]

Формулы, выражающие синус и косинус через тангенс половинного аргумента

    \[\sin \alpha =\frac{2\text{tg}\frac{\alpha }{2}}{1+{\text{tg}}^{2}\frac{\alpha }{2}};  \quad \cos \alpha =\frac{1-{\text{tg}}^{2}\frac{\alpha }{2}}{1+{\text{tg}}^{2}\frac{\alpha }{2}}\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Доказать тождество {{\cos }^{2}}\left( \alpha -\beta  \right)-{{\cos }^{2}}\left( \alpha +\beta  \right)=\sin 2\alpha \cdot \sin 2\beta
Доказательство Распишем выражение в левой части заданного равенства как разность квадратов, получим:

    \[{{\cos }^{2}}\left( \alpha -\beta  \right)-{{\cos }^{2}}\left( \alpha +\beta  \right)=\left( \cos \left( \alpha -\beta  \right)+\cos \left( \alpha +\beta  \right) \right)\cdot \left( \cos \left( \alpha -\beta  \right)-\cos \left( \alpha +\beta  \right) \right)\]

Далее преобразуем разность и сумму косинусов в скобках, используя формулы

    \[\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \cos \frac{\alpha -\beta }{2};  \quad \cos \alpha -\cos \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \sin \frac{\beta -\alpha }{2}\]

Получим:

    \[ {{\cos }^{2}}\left( \alpha -\beta  \right)-{{\cos }^{2}}\left( \alpha +\beta  \right)= \]

    \[ =2\cos \frac{\alpha -\beta +\alpha +\beta }{2}\cdot \cos \frac{\alpha -\beta -\alpha -\beta }{2}\cdot 2\sin \frac{\alpha -\beta +\alpha +\beta }{2}\cdot \sin \frac{\alpha +\beta -\alpha +\beta }{2}= \]

    \[ =2\cos \alpha \cdot \cos \left( -\beta  \right)\cdot 2\sin \alpha \cdot \sin \beta \]

Учитывая, что косинус функция четная, а также, используя формулу синуса двойного угла \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cdot \cos \alpha , окончательно имеем:

    \[{{\cos }^{2}}\left( \alpha -\beta  \right)-{{\cos }^{2}}\left( \alpha +\beta  \right)=2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot 2\sin \beta \cdot \cos \beta =\sin 2\alpha \cdot \sin 2\beta \]

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 2
Задание Упростить выражение

    \[ \frac{{{\sin }^{2}}2\alpha -4{{\sin }^{2}}\alpha }{{{\sin }^{2}}2\alpha -4{{\sin }^{2}}\alpha -4} \]

Решение В числителе и в знаменателе преобразуем, синус двойного угла, используя формулу \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cdot \cos \alpha , получим

    \[  \frac{{{\sin }^{2}}2\alpha -4{{\sin }^{2}}\alpha }{{{\sin }^{2}}2\alpha +4{{\sin }^{2}}\alpha -4}=\frac{{{\left( 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha  \right)}^{2}}-4{{\sin }^{2}}\alpha }{{{\left( 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha  \right)}^{2}}+4{{\sin }^{2}}\alpha -4}=\frac{4{{\sin }^{2}}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}\alpha -4{{\sin }^{2}}\alpha }{4{{\sin }^{2}}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}\alpha +4{{\sin }^{2}}\alpha -4}= \]

    \[  =\frac{4{{\sin }^{2}}\alpha \left( {{\cos }^{2}}\alpha -1 \right)}{4\left( {{\sin }^{2}}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}\alpha +\left( {{\sin }^{2}}\alpha -1 \right) \right)} \]

Числитель и знаменатель полученной дроби сократим на 4, а из основного тригонометрического тождества {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1 выразим {{\cos }^{2}}\alpha -1=-{{\sin }^{2}}\alpha и {{\sin }^{2}}\alpha -1=-{{\cos }^{2}}\alpha , и, так же подставим в последнюю дробь:

    \[  \frac{{{\sin }^{2}}2\alpha -4{{\sin }^{2}}\alpha }{{{\sin }^{2}}2\alpha +4{{\sin }^{2}}\alpha -4}=\frac{4{{\sin }^{2}}\alpha \left( {{\cos }^{2}}\alpha -1 \right)}{4\left( {{\sin }^{2}}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}\alpha +\left( {{\sin }^{2}}\alpha -1 \right) \right)}=\frac{{{\sin }^{2}}\alpha \cdot \left( -{{\sin }^{2}}\alpha  \right)}{\left( {{\sin }^{2}}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}\alpha -{{\cos }^{2}}\alpha  \right)}= \]

    \[  =\frac{-{{\sin }^{4}}\alpha }{{{\cos }^{2}}\alpha \cdot \left( {{\sin }^{2}}\alpha -1 \right)}=\frac{-{{\sin }^{4}}\alpha }{{{\cos }^{2}}\alpha \cdot \left( -{{\cos }^{2}}\alpha  \right)}=\frac{-{{\sin }^{4}}\alpha }{-{{\cos }^{4}}\alpha }=\text{tg}^{4}}\alpha\]

Ответ