Сумма косинусов

Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы на косинус полуразности этих углов. Формула суммы косинусов двух углов имеет вид:

$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \cos \frac{\alpha -\beta }{2}$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Преобразовать в произведение

$\cos \frac{7\pi }{9}+\cos \frac{5\pi }{9}$

Решение

Преобразуем, заданное выражение, по формуле суммы косинусов

$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \cos \frac{\alpha -\beta }{2}$

получим:

$\cos \frac{7\pi }{9}+\cos \frac{5\pi }{9}=2\cos \left( \frac{1}{2}\left( \frac{7\pi }{9}+\frac{5\pi }{9} \right) \right)\cdot \cos \left( \frac{1}{2}\left( \frac{7\pi }{9}-\frac{5\pi }{9} \right) \right)=$

$=2\cos \left( \frac{1}{2}\cdot \frac{12\pi }{9} \right)\cdot \cos \left( \frac{1}{2}\cdot \frac{2\pi }{9} \right)=2\cos \frac{6\pi }{9}\cdot \cos \frac{2\pi }{9}$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Преобразовать в произведение $\cos \left( \beta +\frac{\pi }{10} \right)+\cos \left( \beta -\frac{\pi }{10} \right)$

Решение

Воспользуемся формулой суммой косинусов, получим

$\cos \ \left( \beta +\frac{\pi }{10} \right)+\cos \ \left( \beta -\frac{\pi }{10} \right)=2\cos \left( \frac{1}{2}\left( \beta +\frac{\pi }{10}+\beta -\frac{\pi }{10} \right) \right)\cos \left( \frac{1}{2}\left( \beta +\frac{\pi }{10}-\beta +\frac{\pi }{10} \right) \right)=$

$=2\cos \left( \frac{2\beta }{2} \right)\cos \left( \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{10} \right)=2\cos \beta \cdot \cos \frac{\pi }{20}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!