Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Сумма косинусов

Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы на косинус полуразности этих углов. Формула суммы косинусов двух углов имеет вид:

    \[  \cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \cos \frac{\alpha -\beta }{2}\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Преобразовать в произведение

    \[ \cos \frac{7\pi }{9}+\cos \frac{5\pi }{9} \]

Решение Преобразуем, заданное выражение, по формуле суммы косинусов

    \[ \cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \cos \frac{\alpha -\beta }{2} \]

получим:

    \[  \cos \frac{7\pi }{9}+\cos \frac{5\pi }{9}=2\cos \left( \frac{1}{2}\left( \frac{7\pi }{9}+\frac{5\pi }{9} \right) \right)\cdot \cos \left( \frac{1}{2}\left( \frac{7\pi }{9}-\frac{5\pi }{9} \right) \right)= \]

    \[ =2\cos \left( \frac{1}{2}\cdot \frac{12\pi }{9} \right)\cdot \cos \left( \frac{1}{2}\cdot \frac{2\pi }{9} \right)=2\cos \frac{6\pi }{9}\cdot \cos \frac{2\pi }{9}\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Преобразовать в произведение \cos \left( \beta +\frac{\pi }{10} \right)+\cos \left( \beta -\frac{\pi }{10} \right)
Решение Воспользуемся формулой суммой косинусов, получим

    \[  \cos \ \left( \beta +\frac{\pi }{10} \right)+\cos \ \left( \beta -\frac{\pi }{10} \right)=2\cos \left( \frac{1}{2}\left( \beta +\frac{\pi }{10}+\beta -\frac{\pi }{10} \right) \right)\cos \left( \frac{1}{2}\left( \beta +\frac{\pi }{10}-\beta +\frac{\pi }{10} \right) \right)= \]

    \[  =2\cos \left( \frac{2\beta }{2} \right)\cos \left( \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{10} \right)=2\cos \beta \cdot \cos \frac{\pi }{20} \]

Ответ