Косинус половинного угла

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Косинус половинного угла выражается формулой, которая связывает функцию угла $\alpha$ и функцию угла $\frac{\alpha }{2}$ формуле

$\cos \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$

Вывод формулы косинуса половинного угла

Получить эту формулу можно используя формулу косинуса двойного угла следующим образом:

$\cos \alpha =\cos \left( 2\cdot \frac{\alpha }{2} \right)=2{{\cos }^{2}}\frac{\alpha }{2}-1$

откуда

${{\cos }^{2}}\frac{\alpha }{2}=\frac{1+\cos \alpha }{2}$

Эту формулу еще называют формулой понижения степени косинуса.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Найти значение выражения $4\cos \frac{\alpha }{2}+2\cos \alpha +5$ , если $\text{cos}\alpha =\frac{\text{1}}{\text{8}}$
Решение	Используя формулу половинного угла косинуса, упростим данное выражение и подставим известное значение косинуса $4\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}+2\cos \alpha +5=4\sqrt{\frac{1+\frac{1}{8}}{2}}+2\cdot \frac{1}{8}+5=4\sqrt{\frac{9}{16}}+\frac{1}{4}+5=8\frac{1}{4}$
Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Упростить выражение

${{\cos }^{2}}\left( \frac{3\pi }{4}-\frac{\alpha }{2} \right)-{{\cos }^{2}}\left( \frac{11\pi }{4}+\frac{\alpha }{2} \right)$

Решение

Упростим выражение с помощью формулы понижения степени косинуса:

${{\cos }^{2}}\left( \frac{3\pi }{4}-\frac{\alpha }{2} \right)-{{\cos }^{2}}\left( \frac{11\pi }{4}+\frac{\alpha }{2} \right)=\frac{1+\cos \left( \frac{3\pi }{2}-\alpha \right)}{2}-\frac{1+\cos \left( \frac{11\pi }{2}+\alpha \right)}{2}=$

$=\frac{1}{2}\left( \cos \left( \frac{3\pi }{2}-\alpha \right)-\cos \left( \frac{11\pi }{2}+\alpha \right) \right)$

По формулам приведения

$\cos \left( \frac{3\pi }{2}-\alpha \right)=-\sin \alpha$

$\cos \left( \frac{11\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \left( 5\pi +\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\cos \left( \frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\sin \alpha$

Следовательно,

${{\cos }^{2}}\left( \frac{3\pi }{4}-\frac{\alpha }{2} \right)-{{\cos }^{2}}\left( \frac{11\pi }{4}+\frac{\alpha }{2} \right)=\frac{1}{2}\left( -\sin \alpha -\sin \alpha \right)=-\sin \alpha$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Косинус половинного угла

Вывод формулы косинуса половинного угла

Примеры решения задач