Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Косинус половинного угла

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Косинус половинного угла выражается формулой, которая связывает функцию угла \alpha и функцию угла \frac{\alpha }{2} формуле

    \[ \cos \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}} \]

Вывод формулы косинуса половинного угла

Получить эту формулу можно используя формулу косинуса двойного угла следующим образом:

    \[\cos \alpha =\cos \left( 2\cdot \frac{\alpha }{2} \right)=2{{\cos }^{2}}\frac{\alpha }{2}-1\]

откуда

    \[{{\cos }^{2}}\frac{\alpha }{2}=\frac{1+\cos \alpha }{2}\]

Эту формулу еще называют формулой понижения степени косинуса.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти значение выражения 4\cos \frac{\alpha }{2}+2\cos \alpha +5, если \text{cos}\alpha =\frac{\text{1}}{\text{8}}
Решение Используя формулу половинного угла косинуса, упростим данное выражение и подставим известное значение косинуса

    \[4\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}+2\cos \alpha +5=4\sqrt{\frac{1+\frac{1}{8}}{2}}+2\cdot \frac{1}{8}+5=4\sqrt{\frac{9}{16}}+\frac{1}{4}+5=8\frac{1}{4}\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Упростить выражение

    \[ {{\cos }^{2}}\left( \frac{3\pi }{4}-\frac{\alpha }{2} \right)-{{\cos }^{2}}\left( \frac{11\pi }{4}+\frac{\alpha }{2} \right) \]

Решение Упростим выражение с помощью формулы понижения степени косинуса:

    \[{{\cos }^{2}}\left( \frac{3\pi }{4}-\frac{\alpha }{2} \right)-{{\cos }^{2}}\left( \frac{11\pi }{4}+\frac{\alpha }{2} \right)=\frac{1+\cos \left( \frac{3\pi }{2}-\alpha \right)}{2}-\frac{1+\cos \left( \frac{11\pi }{2}+\alpha \right)}{2}= \]

    \[ =\frac{1}{2}\left( \cos \left( \frac{3\pi }{2}-\alpha \right)-\cos \left( \frac{11\pi }{2}+\alpha \right) \right)\]

По формулам приведения

    \[\cos \left( \frac{3\pi }{2}-\alpha \right)=-\sin \alpha \]

а

    \[\cos \left( \frac{11\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \left( 5\pi +\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\cos \left( \frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\sin \alpha \]

Следовательно,

    \[{{\cos }^{2}}\left( \frac{3\pi }{4}-\frac{\alpha }{2} \right)-{{\cos }^{2}}\left( \frac{11\pi }{4}+\frac{\alpha }{2} \right)=\frac{1}{2}\left( -\sin \alpha -\sin \alpha \right)=-\sin \alpha \]

Ответ