Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Синус половинного угла

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Синус половинного угла выражается формулой, которая связывает функцию угла \alpha и функцию угла \frac{\alpha }{2} формуле

    \[ \sin \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}} \]

Вывод формулы синуса половинного угла

Получить эту формулу можно используя формулу косинуса двойного угла следующим образом:

    \[\cos \alpha =\cos \left( 2\cdot \frac{\alpha }{2} \right)=1-2{{\sin }^{2}}\frac{\alpha }{2}\]

откуда

    \[{{\sin }^{2}}\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{2}\]

Эту формулу еще называют формулой понижения степени синуса.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Вычислить

    \[ \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{3{{\sin }^{2}}}\frac{x}{2}dx \]

Решение Для вычисления данного интеграла воспользуемся формулой половинного угла синуса

    \[ \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{3{{\sin }^{2}}}\frac{x}{2}dx=3\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{1-\cos x}{2}}dx=\frac{3}{2}\left( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{dx-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\cos x}}dx \right)=\frac{3}{2}\left( x|_{0}^{\frac{\pi }{3}}-\sin x|_{0}^{\frac{\pi }{3}} \right)=\]

    \[ =\frac{3}{2}\left( \frac{\pi }{3}-0-\sin \frac{\pi }{3}+\sin 0 \right)=\frac{3}{2}\left( \frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=\frac{\pi }{2}-\frac{3\sqrt{3}}{4}\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Упростить выражение

    \[ {{\sin }^{2}}\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\text{tg}x\sin x+\frac{1}{2\cos x} \]

Решение Чтобы упростить данное выражение будем использовать формулу понижения степени синуса, а также представим тангенс в виде \text{tg}x=\frac{\sin x}{\cos }:

    \[{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\text{tg}x\sin x+\frac{1}{2\cos x}=\frac{1-\cos x}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin x}{\cos x}\cdot \sin x+\frac{1}{2\cos x}= \]

    \[=\frac{\cos x-{{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x+1}{2\cos x}=\frac{\cos x-1+1}{2\cos x}=\frac{\cos x}{2\cos x}=\frac{1}{2}\]

Ответ