Синус половинного угла

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Синус половинного угла выражается формулой, которая связывает функцию угла $\alpha$ и функцию угла $\frac{\alpha }{2}$ формуле

$\sin \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}$

Вывод формулы синуса половинного угла

Получить эту формулу можно используя формулу косинуса двойного угла следующим образом:

$\cos \alpha =\cos \left( 2\cdot \frac{\alpha }{2} \right)=1-2{{\sin }^{2}}\frac{\alpha }{2}$

откуда

${{\sin }^{2}}\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{2}$

Эту формулу еще называют формулой понижения степени синуса.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Вычислить

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{3{{\sin }^{2}}}\frac{x}{2}dx$

Решение

Для вычисления данного интеграла воспользуемся формулой половинного угла синуса

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{3{{\sin }^{2}}}\frac{x}{2}dx=3\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{1-\cos x}{2}}dx=\frac{3}{2}\left( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{dx-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\cos x}}dx \right)=\frac{3}{2}\left( x|_{0}^{\frac{\pi }{3}}-\sin x|_{0}^{\frac{\pi }{3}} \right)=$

$=\frac{3}{2}\left( \frac{\pi }{3}-0-\sin \frac{\pi }{3}+\sin 0 \right)=\frac{3}{2}\left( \frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=\frac{\pi }{2}-\frac{3\sqrt{3}}{4}$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Упростить выражение

${{\sin }^{2}}\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\text{tg}x\sin x+\frac{1}{2\cos x}$

Решение

Чтобы упростить данное выражение будем использовать формулу понижения степени синуса, а также представим тангенс в виде $\text{tg}x=\frac{\sin x}{\cos }$ :

${{\sin }^{2}}\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\text{tg}x\sin x+\frac{1}{2\cos x}=\frac{1-\cos x}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin x}{\cos x}\cdot \sin x+\frac{1}{2\cos x}=$

$=\frac{\cos x-{{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x+1}{2\cos x}=\frac{\cos x-1+1}{2\cos x}=\frac{\cos x}{2\cos x}=\frac{1}{2}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Синус половинного угла

Вывод формулы синуса половинного угла

Примеры решения задач