Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Косинус 45 градусов

Значение косинуса 45 градусов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Косинус 45 градусов равен \frac{\sqrt{2}}{2}, то есть

    \[\cos {{45}^{\circ }}=\frac{\sqrt{2}}{2}\]

В радианах {{45}^{\circ }} равно \frac{\pi }{4}, тогда

    \[\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\]

На единичной окружности косинус 45 градусов расположен следующим образом, как показано на рисунке 1.

Рис. 1

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Преобразовать в сумму выражение \cos \,\left( {{45}^{\circ }}-x \right)
Решение Применим к заданному выражению формулу косинуса разности углов, получим:

    \[\cos \,\left( {{45}^{\circ }}-x \right)=\cos {{45}^{\circ }}\cos x +\sin {{45}^{\circ }}\sin x\]

Учитывая, что \cos {{45}^{\circ }}=\frac{\sqrt{2}}{2} и \sin {{45}^{\circ }}=\frac{\sqrt{2}}{2} имеем

    \[\cos \,\left( {{45}^{\circ }}-x \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x +\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Стороны параллелограмма равны 5 и 2\sqrt{2} см, а один из его углов равен {{135}^{\circ }}. Найти длину меньшей диагонали параллелограмма.
Решение Сделаем рисунок (рис. 1).

Рис. 1

По условию BC=AD=5;  \quad AB=CD=2\sqrt{2};  \quad \angle B={{135}^{\circ }}. Меньшая диагональ BD лежит против острого угла параллелограмма. Так как сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна {{180}^{\circ }}, то острый угол \angle A параллелограмма равен:

    \[\angle A ={{180}^{\circ }}-\angle B \quad  \Rightarrow \ \quad  \angle A ={{180}^{\circ }}-{{135}^{\circ }}\ \quad  \Rightarrow \ \quad  \angle A ={{45}^{\circ }}\]

Рассмотрим \Delta ABC. Из него по теореме косинусов найдем BD:

    \[BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos \angle A;\]

    \[BD^{2}={{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{5}^{2}}-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 5\cdot \cos {{45}^{\circ }};\]

учитывая, что \cos {{45}^{\circ }}=\frac{\sqrt{2}}{2}, получим:

    \[BD^{2}=8+25-20\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2};\]

    \[BD^{2}=13;\ \quad  \Rightarrow \ \quad  BD=\sqrt{13} (cm)\]

Ответ BD=\sqrt{13} см