Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Косинус двойного угла

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Формула косинуса двойного угла может быть представлена в одном из видов

    \[  \cos 2\alpha ={{\cos }^{2}}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha\]

    \[  \cos 2\alpha =2{{\cos }^{2}}\alpha -1\]

    \[  \cos 2\alpha =1-2{{\sin }^{2}}\alpha \]

Формулу \cos 2\alpha ={{\cos }^{2}}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha легко получить из формулы косинус суммы углов:

    \[\cos \left( \alpha +\beta  \right)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \]

положив в ней \beta =\alpha:

    \[\cos 2\alpha =\cos \left( \alpha +\alpha  \right)=\cos \alpha \cos \alpha -\sin \alpha \sin \alpha ={{\cos }^{2}}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha \]

Другие две формулы получаются из этой и основного тригонометрического тождества. Выразим из основного тригонометрического тождества {{\sin }^{2}}\alpha =1-{{\cos }^{2}}\alpha и подставим в формулу \cos 2\alpha ={{\cos }^{2}}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha , получим:

    \[\cos 2\alpha ={{\cos }^{2}}\alpha -\left( 1-{{\cos }^{2}}\alpha  \right)={{\cos }^{2}}\alpha -1+{{\cos }^{2}}\alpha =2{{\cos }^{2}}\alpha -1\]

Если из основного тригонометрического тождества выразить {{\cos }^{2}}\alpha =1-{{\sin }^{2}}\alpha и подставить в \cos 2\alpha ={{\cos }^{2}}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha , то будем иметь

    \[\cos 2\alpha =1-{{\sin }^{2}}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha =1-2{{\sin }^{2}}\alpha \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Упростить выражение

    \[ {{\cos }^{4}}\frac{\alpha }{2}-{{\sin }^{4}}\frac{\alpha }{2} \]

Решение Распишем исходное выражение по формуле разности квадратов

    \[{{\cos }^{4}}\frac{\alpha }{2}-{{\sin }^{4}}\frac{\alpha }{2}=\left( {{\cos }^{2}}\frac{\alpha }{2}-{{\sin }^{2}}\frac{\alpha }{2} \right)\cdot \left( {{\cos }^{2}}\frac{\alpha }{2}+{{\sin }^{2}}\frac{\alpha }{2} \right)\]

Выражение в первой скобке есть формула косинуса двойного угла, а во второй основное тригонометрическое тождество:

    \[{{\cos }^{4}}\frac{\alpha }{2}-{{\sin }^{4}}\frac{\alpha }{2}=\left( {{\cos }^{2}}\frac{\alpha }{2}-{{\sin }^{2}}\frac{\alpha }{2} \right)\cdot \left( {{\cos }^{2}}\frac{\alpha }{2}+{{\sin }^{2}}\frac{\alpha }{2} \right)=\cos \ \left( 2\cdot \frac{\alpha }{2} \right)\cdot 1=\cos \alpha \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Упростить выражение 1-2{{\sin }^{2}}\left( {{45}^{\circ }}+1,5\alpha  \right)
Решение Заданное выражение есть формула косинуса двойного угла

    \[1-2{{\sin }^{2}}\left( {{45}^{\circ }}+1,5\alpha  \right)=\cos 2\left( {{45}^{\circ }}+1,5\alpha  \right)=\cos \ \left( {{90}^{\circ }}+3\alpha  \right)\]

По формулам приведения \cos \ \left( {{90}^{\circ }}+\alpha  \right)=-\sin \alpha , тогда окончательно получим:

    \[1-2{{\sin }^{2}}\left( {{45}^{\circ }}+1,5\alpha  \right)=\cos \ \left( {{90}^{\circ }}+3\alpha  \right)=-\sin 3\alpha \]

Ответ 1-2{{\sin }^{2}}\left( {{45}^{\circ }}+1,5\alpha  \right)=-\sin 3\alpha