Сумма синусов

Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразноста этих углов. Формула суммы синусов имеет вид

$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \cos \frac{\alpha -\beta }{2}$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Преобразовать в произведение

$\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)+\sin \left( x-\frac{\pi }{6} \right)$

Решение

Воспользуемся формулой суммы синусов $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \cos \frac{\alpha -\beta }{2},$ тогда данное выражение примет вид

$\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)+\sin \left( x-\frac{\pi }{6} \right)=2\sin \left( \frac{x+{\pi }/{6}\;+\left( x-{\pi }/{6}\; \right)}{2} \right)\cdot \cos \left( \frac{x+{\pi }/{6}\;-\left( x-{\pi }/{6}\; \right)}{2} \right)=$

$=2\sin \left( \frac{x+{\pi }/{6}\;+x-{\pi }/{6}\;}{2} \right)\cdot \cos \left( \frac{x+{\pi }/{6}\;-x+{\pi }/{6}\;}{2} \right)=2\sin \left( \frac{2x}{2} \right)\cdot \cos \left( \frac{2{\pi }/{6}\;}{2} \right)=$

$=2\sin x\cdot \cos \frac{\pi }{6}=2\sin x\cdot \frac{1}{2}=\sin x.$

Ответ

$\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)+\sin \left( x-\frac{\pi }{6} \right)=\sin x$

ПРИМЕР 2

Задание

Найти $\alpha ,$ если $\sin {{48}^{\circ }}+\sin \alpha =2\sin {{39}^{\circ }}\cos {{9}^{\circ }}$

Решение

Применим к правой части заданного равенства формулу суммы синусов, получим

$2\sin \left( \frac{{{48}^{\circ }}+\alpha }{2} \right)\cdot \cos \ \left( \frac{{{48}^{\circ }}-\alpha }{2} \right)=2\sin {{39}^{\circ }}\cos {{9}^{\circ }}$

Приравняем соответственные аргументы одинаковых функций

$\frac{{{48}^{\circ }}+\alpha }{2}={{39}^{\circ }};\quad \frac{{{48}^{\circ }}-\alpha }{2}={{9}^{\circ }}$

${{48}^{\circ }}+\alpha ={{78}^{\circ }};\quad {{48}^{\circ }}-\alpha ={{18}^{\circ }}$

$\alpha ={{30}^{\circ }}$

Ответ

$\alpha ={{30}^{\circ }}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Сумма синусов

Примеры решения задач