Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Сумма синусов

Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразноста этих углов. Формула суммы синусов имеет вид

    \[ \sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \cos \frac{\alpha -\beta }{2} \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Преобразовать в произведение

    \[\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)+\sin \left( x-\frac{\pi }{6} \right)\]

Решение Воспользуемся формулой суммы синусов \sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \cos \frac{\alpha -\beta }{2}, тогда данное выражение примет вид

    \[ \sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)+\sin \left( x-\frac{\pi }{6} \right)=2\sin \left( \frac{x+{\pi }/{6}\;+\left( x-{\pi }/{6}\; \right)}{2} \right)\cdot \cos \left( \frac{x+{\pi }/{6}\;-\left( x-{\pi }/{6}\; \right)}{2} \right)= \]

    \[  =2\sin \left( \frac{x+{\pi }/{6}\;+x-{\pi }/{6}\;}{2} \right)\cdot \cos \left( \frac{x+{\pi }/{6}\;-x+{\pi }/{6}\;}{2} \right)=2\sin \left( \frac{2x}{2} \right)\cdot \cos \left( \frac{2{\pi }/{6}\;}{2} \right)= \]

    \[ =2\sin x\cdot \cos \frac{\pi }{6}=2\sin x\cdot \frac{1}{2}=\sin x.\]

Ответ \sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)+\sin \left( x-\frac{\pi }{6} \right)=\sin x
ПРИМЕР 2
Задание Найти \alpha , если \sin {{48}^{\circ }}+\sin \alpha =2\sin {{39}^{\circ }}\cos {{9}^{\circ }}
Решение Применим к правой части заданного равенства формулу суммы синусов, получим

    \[2\sin \left( \frac{{{48}^{\circ }}+\alpha }{2} \right)\cdot \cos \ \left( \frac{{{48}^{\circ }}-\alpha }{2} \right)=2\sin {{39}^{\circ }}\cos {{9}^{\circ }}\]

Приравняем соответственные аргументы одинаковых функций

    \[\frac{{{48}^{\circ }}+\alpha }{2}={{39}^{\circ }};\quad \frac{{{48}^{\circ }}-\alpha }{2}={{9}^{\circ }}\]

    \[{{48}^{\circ }}+\alpha ={{78}^{\circ }};\quad {{48}^{\circ }}-\alpha ={{18}^{\circ }}\]

    \[\alpha ={{30}^{\circ }}\]

Ответ \alpha ={{30}^{\circ }}