Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Тригонометрические уравнения и их решение

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Тригонометрическими называются уравнения, которые содержат переменную под знаком тригонометрической функции.

Простейшие тригонометрические уравнения

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся уравнения вида

    \[\sin x=a,\quad  \cos x=a,\quad   \text{tg}\,x=a,\quad  \text{ctg}\,x=a\]

Рассмотрим подробнее каждое из этих уравнений и их решение.

Уравнение вида \sin x=a. При a>1 и a<-1 уравнение корней не имеет. При -1\le a\le 1, корни этого уравнения находятся по формуле

    \[x={{\left( -1 \right)}^{k}}\arcsin a+\pi k,\quad k\in Z\]

Особые случаи:

    \[a=-1\quad \Rightarrow \quad \sin x=-1\quad \Rightarrow \quad x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k,\quad k\in Z \]

    \[a=0\quad \Rightarrow \quad \sin x=0\quad \Rightarrow \quad x=\pi k,\quad k\in Z \]

    \[a=1\quad \Rightarrow \quad \sin x=1\quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,\quad k\in Z\]

ПРИМЕР 1
Задание Решить уравнение \sin x=0,5
Решение Так как -1\le \frac{1}{2}\le 1, то заданное уравнение имеет решение и для его нахождения воспользуемся формулой

    \[x={{\left( -1 \right)}^{k}}\arcsin a+\pi k,\quad k\in Z\]

Получим

    \[x={{\left( -1 \right)}^{k}}\arcsin \frac{1}{2}+\pi k,\quad k\in Z\]

Далее находим значение арксинуса: \arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6},\quad k\in Z; тогда

    \[x={{\left( -1 \right)}^{k}}\cdot \frac{\pi }{6}+\pi k,\quad k\in Z \]

Ответ x={{\left( -1 \right)}^{k}}\cdot \frac{\pi }{6}+\pi k,\quad k\in Z

Уравнение вида \cos x=a. При a>1 и a<-1 уравнение корней не имеет. При -1\le a\le 1, корни этого уравнения находятся по формуле

    \[x=\pm \arccos a+2\pi k,\quad k\in Z\]

Особые случаи:

    \[a=-1\quad \Rightarrow \quad \cos x=-1\quad \Rightarrow \quad x=\pi +2\pi k,\quad k\in Z \]

    \[a=0\quad \Rightarrow \quad \cos x=0\quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\quad k\in Z \]

    \[a=1\quad \Rightarrow \quad \cos x=1\quad \Rightarrow \quad x=2\pi k,\quad k\in Z\]

Замечание. \arccos \left( -a \right)=\pi -\arccos a.

ПРИМЕР 2
Задание Решить уравнение \cos \left( \frac{\pi }{3}+\frac{2x}{3} \right)=0
Решение Положим t=\frac{\pi }{3}+\frac{2x}{3}, тогда заданное уравнение преобразуется в простейшее тригонометрическое уравнение вида \cos \ t=0, которое имеет решение

    \[t=\frac{\pi }{2}+\pi k,\quad k\in Z\]

Делая обратную замену, получим

    \[\frac{\pi }{3}+\frac{2x}{3}=\frac{\pi }{2}+\pi k,\quad k\in Z\]

Выразим из последнего равенства x:

    \[\frac{2x}{3}=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}+\pi k,\quad k\in Z \]

    \[\frac{2x}{3}=\frac{\pi }{6}+\pi k,\quad k\in Z \]

умножим обе части последнего равенства на \frac{3}{2}:

    \[x=\frac{\pi }{6}\cdot \frac{3}{2}+\pi k\cdot \frac{3}{2},\quad k\in Z \]

    \[x=\frac{\pi }{4}+\frac{3\pi k}{2},\quad k\in Z\]

Ответ x=\frac{\pi }{4}+\frac{3\pi k}{2},\quad k\in Z

Уравнение вида \text{tg}\,x=a. Корни этого уравнения находятся по формуле

    \[x=\text{arctg}a+\pi k,\quad k\in Z\]

ПРИМЕР 3
Задание Решить уравнение \text{tg}\,x=-\frac{1}{\sqrt{3}}
Решение Это простейшее тригонометрическое уравнение и его корни находим по формуле

    \[x=\text{arctg}a+\pi k,\quad k\in Z\]

Получим

    \[x=\text{arctg}\left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)+\pi k,\quad k\in Z \]

так как арктангенс функция нечетная, то

    \[x=-\text{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3}+\pi k,\quad k\in Z \]

    \[x=-\frac{\pi }{6}+\pi k,\quad k\in Z\]

Ответ x=-\frac{\pi }{6}+\pi k,\quad k\in Z

Уравнение вида \text{ctg}\,x=a. Корни этого уравнения находятся по формуле

    \[x=\text{arcctg}a+\pi k,\quad k\in Z\]

ПРИМЕР 4
Задание Решить уравнение \text{ctg}\,\left( \frac{\pi }{4}+\frac{x}{2} \right)=1
Решение Положив t=\frac{\pi }{4}+\frac{x}{2}, получим простейшее тригонометрическое уравнение \text{ctg}\,t=1, корни которого вычисляются по формуле.

    \[t=\text{arcctg}a+\pi k,\quad k\in Z\]

Тогда

    \[t=\text{arcctg}1+\pi k,\quad k\in Z \]

    \[t=\frac{\pi }{4}+\pi k,\quad k\in Z\]

Сделаем обратную замену

    \[\frac{\pi }{4}+\frac{x}{2}=\frac{\pi }{4}+\pi k,\quad k\in Z\]

и выразим из полученного уравнения x:

    \[\frac{x}{2}=\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{4}+\pi k,\quad k\in Z \]

    \[\frac{x}{2}=\pi k,\quad k\in Z \]

умножим обе части последнего равенства на 2, тогда окончательно получим

    \[x=2\pi k,\quad k\in Z\]

Ответ x=2\pi k,\quad k\in Z

Тригонометрические уравнения, приводящиеся к квадратным уравнениям

Это тригонометрические уравнения, которые после замены тригонометрической функции, которая входит в уравнение, становится квадратным.

ПРИМЕР 5
Задание Решить уравнение 4{{\sin }^{2}}2x-8\sin 2x+3=0
Решение Введем замену t=\sin 2x,\ \left| t \right|\le 1, тогда исходное уравнение примет вид:

    \[4{{t}^{2}}-8t+3=0\]

Найдем корни полученного квадратного уравнения

    \[D={{\left( -8 \right)}^{2}}-4\cdot 4\cdot 3=64-48=16 \]

    \[{{t}_{1}}=\frac{8+\sqrt{16}}{2\cdot 4}=\frac{8+4}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2} \]

    \[{{t}_{2}}=\frac{8-\sqrt{16}}{2\cdot 4}=\frac{8-4}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\]

Сделаем обратную замену, тогда при {{t}_{1}}=\frac{3}{2} получаем уравнение \sin 2x=\frac{3}{2}, которое не имеет решений, потому что значение синуса не может превышать 1. При {{t}_{2}}=\frac{1}{2} получаем уравнение \sin 2x=\frac{1}{2}. Это простейшее уравнение вида \sin x=a, корни которого находятся по формуле x={{\left( -1 \right)}^{k}}\arcsin a+\pi k,\quad k\in Z. Получим

    \[2x={{\left( -1 \right)}^{k}}\arcsin \frac{1}{2}+\pi k,\quad k\in Z \]

    \[2x={{\left( -1 \right)}^{k}}\frac{\pi }{6}+\pi k,\quad k\in Z \]

    \[x={{\left( -1 \right)}^{k}}\frac{\pi }{12}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in Z\]

Ответ x={{\left( -1 \right)}^{k}}\frac{\pi }{12}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in Z

Уравнение видаa\sin x+b\cos x=c, где a,\ b,\ c\ \in R. Такие уравнения решают с помощью введения дополнительного угла. Считая, что {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0, поделим обе части исходного уравнения на \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}, получим

    \[\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\cos x=\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\]

Для полученных коэффициентов при синусе и косинусе справедливы следующие соотношения

    \[\left| \frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} \right|\le 1,   \left| \frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} \right|\le 1,   {{\left( \frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} \right)}^{2}}=1\]

Тогда можно утверждать, что существует угол \phi, такой что, например

    \[\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=\cos \phi ,   \frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=\sin \phi ,   \frac{b}{a}=\text{tg}\phi \]

Таким образом, последнее уравнение примет вид

    \[\cos \phi \cdot \sin x+\sin \phi \cdot \cos x=\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\]

По формуле суммы для тригонометрических функций, последнее уравнение сводится к простейшему тригонометрическому уравнению

    \[\sin \left( \phi +x \right)=\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} \]

откуда достаточно легко найти x.

ПРИМЕР 6
Задание Решить уравнение \sin x+\cos x=\sqrt{2}
Решение Коэффициенты при синусе и косинусе равны 1. Тогда поделим обе части исходного уравнения на \sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{2}, получим

    \[\frac{\sin x}{\sqrt{2}}+\frac{\cos x}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \]

    \[\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x=1\]

Существует угол \phi, для которого \cos \phi =\frac{1}{\sqrt{2}},\sin \phi =\frac{1}{\sqrt{2}},\text{tg}\phi =1. Решая любое из этих простейших уравнений получаем, что \phi =\frac{\pi }{4}. Тогда последнее уравнение можно переписать следующим образом

    \[\cos \frac{\pi }{4}\cdot \sin x+\sin \frac{\pi }{4}\cdot \cos x=1\]

По формуле суммы для тригонометрических функций, последнее уравнение сводится к простейшему тригонометрическому уравнению

    \[\sin \left( \frac{\pi }{4}+x \right)=1\]

Решая его, получим

    \[\frac{\pi }{4}+x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,\quad k\in Z \]

    \[x=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}+2\pi k,\quad k\in Z \]

    \[x=\frac{\pi }{4}+2\pi k,\quad k\in Z\]

Ответ x=\frac{\pi }{4}+2\pi k,\quad k\in Z

Однородные тригонометрические уравнения

Однородные тригонометрические уравнения – это уравнения вида

    \[{{a}_{0}}{{\sin}^{n}}x+{{a}_{1}}{{\sin}^{n-1}}x\cos x+{{a}_{2}}{{\sin}^{n-2}}x{{\cos}^{2}}x+\ldots +{{a}_{n-1}}\sin x{{\cos}^{n-1}}x+{{a}_{n}}{{\cos}^{n}}x=0 \]

где {{a}_{0}},\ {{a}_{1}},\ {{a}_{2}},\ {{a}_{n-1}},\ {{a}_{n}} – действительные числа, n\ge 1. Такое уравнение легко приводится к уравнению относительно \text{tg}x, если все его члены поделить на {{\cos}^{n}}x. При этом, если {{a}_{0}}\ne 0, то деление не приведет к потере корней. Действительно, если \cos x=0, то первоначальное уравнение примет вид {{a}_{0}}{{\sin}^{n}}x=0, откуда \sin x=0, что не возможно, так как \cos x и \sin x одновременно не могут быть равны нулю.

ПРИМЕР 7
Задание Решить уравнение

    \[4{{\sin}^{2}}x-3\sin x\cos x-{{\cos}^{2}}x=0\]

Решение Разделим все члены данного уравнения на {{\cos x}^{2}}x:

    \[\frac{4{{\sin}^{2}}x}{{{\cos}^{2}}x}-\frac{3\sin x\cos x}{{{\cos}^{2}}x}-\frac{{{\cos}^{2}}x}{{{\cos}^{2}}x}=0 \]

получим уравнение относительно \text{tg}x:

    \[4t{{g}^{2}}x-3\text{tg}x-1=0\]

Введем замену t=\text{tg}x, тогда уравнение примет вид

    \[4{{t}^{2}}-3t-1=0\]

Это квадратное уравнение, найдем его корни:

    \[D={{\left( -3 \right)}^{2}}-4\cdot 4\cdot \left( -1 \right)=9+16=25 \]

    \[{{t}_{1}}=\frac{3-\sqrt{25}}{2\cdot 4}=\frac{3-5}{8}=-\frac{2}{8}=-\frac{1}{4} \]

    \[{{t}_{2}}=\frac{3+\sqrt{25}}{2\cdot 4}=\frac{3+5}{8}=\frac{8}{8}=1\]

Делая обратную замену, получим: при {{t}_{1}}=-\frac{1}{4}

    \[\text{tg}x=-\frac{1}{4}\quad \Rightarrow \quad x=\text{\text{arctg}}\left( -\frac{\text{1}}{\text{4}} \right)+\pi k,\quad \Rightarrow \quad x=-\text{\text{arctg}}\frac{\text{1}}{\text{4}}+\pi k,\quad k\in Z \]

при {{t}_{2}}=1

    \[\text{tg}x=1\quad \Rightarrow \quad x=\text{\text{arctg}}1+\pi n,\quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi }{\text{4}}+\pi n,\quad n\in Z\]

Ответ x=-\text{\text{arctg}}\frac{1}{4}+\pi k, \quad x=\frac{\pi }{4}+\pi n, \quad k,n\in Z

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Основной сложностью решения таких уравнений является отбор корней уравнения для формирования ответа.

ПРИМЕР 8
Задание Решить уравнение

    \[\frac{\cos x}{\sin x-1}=0\]

Решение Это уравнение содержит дробь, в числителе и знаменателе которой присутствуют тригонометрические функции, поэтому это дробно-рациональное тригонометрическое уравнение.

ОДЗ: \sin x-1\ne 0\quad \Rightarrow \quad \sin x\ne 1\quad \Rightarrow \quad x\ne \frac{\pi }{2}+2\pi k\quad k\in Z.

Теперь знаменатель можно опустить, и остается решить уравнение

    \[\cos x=0\quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi }{2}+\pi k\quad k\in Z\]

Рис. 1

Нанесем на единичную окружность корни x=\frac{\pi }{2}+\pi k\quad k\in Z и зачеркнем те, что не входят в ОДЗ (рис. 1). Таким образом, корнями данного уравнения будут значения x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k\quad k\in Z.

Ответ x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k\quad k\in Z