Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Косинус тройного угла

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Косинус тройного угла выражается через косинус этого угла следующим образом

    \[ \cos 3\alpha =4{{\cos }^{3}}\alpha -3\cos \alpha  \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти значение выражения 5\cos 3\alpha -3, если \sin \alpha =\frac{4}{5}, угол \alpha лежит в первой четверти.
Решение Преобразуем выражение следующим образом:

    \[5\cos 3\alpha -3=5(4{{\cos }^{3}}\alpha -3\cos \alpha )-3\]

Из основного тригонометрического тождества найдем значение косинуса угла \alpha:

    \[\cos \alpha =\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\pm \frac{3}{5}\]

Так как угол \alpha лежит в первой четверти, то выберем положительное значение косинуса \cos \alpha =\frac{3}{5} и подставим его в искомое выражение:

    \[ 5\cos 3\alpha +3=5(4{{\cos }^{3}}\alpha -3\cos \alpha )+3=5\left( 4\cdot \frac{27}{125}-3\cdot \frac{3}{5} \right)+3=\]

    \[ =5\cdot \left( -\frac{117}{125} \right)+3=-\frac{117}{25}+3=-\frac{42}{25}\]

Ответ 5\cos 3\alpha +3=-\frac{42}{25}
ПРИМЕР 2
Задание Вычислить \sin {{135}^{\circ}}
Решение Представим угол {{135}^{\circ}} в виде 3\cdot {{45}^{\circ}}, тогда можно записать

    \[ \cos {{135}^{\circ}}=\cos (3\cdot {{45}^{\circ}})=4{{\cos }^{3}}{{45}^{\circ}}-3\cos {{45}^{\circ}}=4\cdot {{\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{3}}-3\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}= \]

    \[ =4\cdot \frac{2\sqrt{2}}{8}-3\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\]

Ответ