Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Тригонометрический круг (окружность)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Тригонометрический круг (окружность) – круг радиуса один (единичная окружность), с центром в начале координат (рисунок 1).

За нулевое положение радиуса, принимается его положение на положительном направлении оси Ox. Угол поворота радиуса отсчитывается от положительного направления оси Ox: с плюсом – против часовой стрелки, с минусом – по часовой стрелке. Полный круг – это {{360}^{\circ }}. Каждому углу \alpha от {{0}^{\circ }} до {{360}^{\circ }} соответствует точка M на единичной окружности.

Синусом угла \alpha есть ордината точки M, а косинусом угла \alpha есть абсцисса точки M.

Рис. 1

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Используя единичную окружность, определить синус и косинус угла \frac{\pi }{6}.
Решение Отложим на единичной окружности угол равный \frac{\pi }{6} (рис. 1), ему будет соответствовать точка A окружности. Найдем синус заданного угла. Для этого найдем проекцию точки A на ось Oy, ею будет точка B\left( 0;\frac{1}{2} \right). Значит, ордината точки A равна \frac{1}{2} и значение \sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}.

Для нахождения косинуса заданного угла, найдем проекцию точки A на ось Ox. Ею будет точка C\left( \frac{\sqrt{3}}{2};\ 0 \right), тогда абсцисса точка A равна \frac{\sqrt{3}}{2} и, соответственно, \cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Ответ

Единицы измерения углов

Углы обычно измеряются либо в градусах, либо в радианах. Перевести градусы в радианы просто: 360 градусов (полный круг) соответствует 2\pi радиан.

ПРИМЕР 2
Задание Перевести:

1) угол \alpha =\frac{3\pi }{2} в градусы;

2) угол \beta ={{135}^{\circ }} в радианы.

Решение 1) Для того чтобы перевести угол из радиан в градусы, умножим данный угол на \frac{{{360}^{\circ }}}{2\pi }. Получим

    \[\alpha =\frac{3\pi }{2}\cdot \frac{{{360}^{\circ }}}{2\pi }=3\cdot {{90}^{\circ }}={{270}^{\circ }}\]

2) Для того чтобы перевести заданный угол из градусов в радианы, умножим его на \frac{2\pi }{{{360}^{\circ }}}. Получим

    \[\beta ={{135}^{\circ }}\cdot \frac{2\pi }{{{360}^{\circ }}}=\frac{{{270}^{\circ }}\cdot \pi }{{{360}^{\circ }}}=\frac{3\pi }{4}\]

Ответ 1) \alpha ={{270}^{\circ }} \text{ };\text{ } 2)\beta =\frac{3\pi }{4}

На единичной окружности также можно находить углы, которые больше 360 градусов. Поскольку, значения синуса и косинуса на тригонометрическом круге повторяются каждые {{360}^{\circ }}.

ПРИМЕР 3
Задание Найти с помощью единичной окружности синус угла \alpha ={{750}^{\circ }}.
Решение Представим данный угол следующим образом

    \[\alpha ={{750}^{\circ }}={{360}^{\circ }}+{{360}^{\circ }}+{{30}^{\circ }}\]

Таким образом, необходимо сделать два полных обхода окружности, а затем остановиться в точке соответствующей углу в {{30}^{\circ }} (рис. 1). Синусу соответствует ордината этой точки, то есть \sin {{750}^{\circ }}=\frac{1}{2}.

Ответ \sin {{750}^{\circ }}=\frac{1}{2}