Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Обратные тригонометрические функции

Основные обратные тригонометрические функции:

1. \arcsin x – арксинус;

2. \arccos x – арккосинус;

3. \text{arctg}x – арктангенс;

4. \text{arcctg}x – арккотангенс.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Арксинусом числа x, где \left| x \right|\le 1, называется такое число \alpha из промежутка \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right], синус которого равен x.

Арксинус является нечетной функцией, то есть: \arcsin \left( -x \right)=\arcsin \left( x \right).

ПРИМЕР 1
Задание Найти значения обратных тригонометрических функций:

1) \arcsin \frac{1}{2}

2) \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)

Решение 1) Вычислим значение \arcsin \frac{1}{2}, для этого нам нужно найти такой угол \alpha из промежутка \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right], чтобы \sin \alpha =\frac{1}{2}. Воспользуемся таблицей значений синуса:

Выбираем в строке значений синуса значение, равное \frac{1}{2} и определяем, что этому значению соответствует угол \alpha =\frac{\pi }{6}. Так как \frac{\pi }{6}\in \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right], то получаем: \arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}.

2) Вычислим значение \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)

Рис. 1

Первый способ. Найдем угол \alpha из промежутка \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right], такой что \sin \alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}. Воспользуемся тригонометрическим кругом (рис. 1). Значениям синуса соответствуют точки на оси Oy. Отметим на ней значение -\frac{\sqrt{3}}{2}. Этому значению соответствует {{\alpha }_{1}}=-\frac{\pi }{3} и {{\alpha }_{2}}=-\frac{2\pi }{3}, но промежутку \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right] принадлежит только {{\alpha }_{1}}=-\frac{\pi }{3}. Таким образом, \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=-\frac{\pi }{3}.

Второй способ. Используем то, что функция арксинус нечетная, тогда \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=-\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}. А \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} найдем, используя таблицу значений синуса: \sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2} при \alpha =\frac{\pi }{3}. Тогда окончательно имеем \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=-\frac{\pi }{3}.

Ответ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Арккосинус числа x, где \left| x \right|\le 1, называется такое число \alpha из промежутка \left[ 0;\pi  \right], косинус которого равен x.

Для арккосинуса справедливо следующее равенство

    \[\arccos \left( -x \right)=\pi -\arccos x\]

ПРИМЕР 2
Задание Найти значения обратных тригонометрических функций:

    \[ \arccos \ \frac{1}{2} \text{ },\text{ } \arccos \ \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \]

Решение Для вычисления значение \arccos \ \frac{1}{2}, необходимо найти такой угол \alpha из промежутка \left[ 0;\pi  \right], чтобы \cos \alpha =\frac{1}{2}. Воспользуемся таблицей значений косинуса:

Выбираем в строке значений косинуса значение, равное \frac{1}{2} и определяем, что ему соответствует угол \alpha =\frac{\pi }{3}. Так как \frac{\pi }{3}\in \left[ 0;\pi  \right], то получаем: \arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}.

Вычислим значение \arccos \ \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right).

Рис. 2

Первый способ. Найдем угол \alpha из промежутка \left[ 0;\pi  \right], такой что \cos \alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}. Воспользуемся тригонометрическим кругом (рис. 2). Значениям косинуса соответствуют точки на оси Ox. Отметим на ней значение \cos \alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}. Значению \cos \alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2} соответствует два угла {{\alpha }_{1}}=\frac{5\pi }{6} и {{\alpha }_{2}}=-\frac{5\pi }{6}. Промежутку \left[ 0;\pi  \right] принадлежит только {{\alpha }_{1}}=\frac{5\pi }{6}, тогда, \arccos \ \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=\frac{5\pi }{6}.

Второй способ. Воспользуемся равенством \arccos \ \left( -x \right)=\pi -\arccos x. Тогда \arccos \ \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=\pi -\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}. Найдем \arccos \frac{\sqrt{3}}{2}, используя таблицу значений косинуса. Получим, что значению \cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2} соответствует \alpha =\frac{\pi }{6}. Тогда используя последнее равенство

    \[\arccos \ \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=\pi -\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{6\pi -\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}\]

Ответ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Арктангенсом числа x, называется такое число \alpha из промежутка \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right), что \text{tg}\alpha =x.

Арктангенс функция нечетная, поэтому для нее справедливо следующее равенство

    \[\text{arctg}\ \left( -x \right)=-\text{arctg}x\]

ПРИМЕР 3
Задание Найти значения обратных тригонометрических функций: \text{arctg}\sqrt{3} и \text{arctg}\left( -1 \right)
Решение Определим значение \text{arctg}\sqrt{3}. Для этого необходимо найти такой угол \alpha из промежутка \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right), что \text{tg}\alpha =\sqrt{3}. Воспользуемся таблицей значений тангенса

Находим в строке значений тангенса значение \sqrt{3}, ему соответствует угол \alpha =\frac{\pi }{3}. Это значение \alpha принадлежит промежутку \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right), поэтому

    \[\text{arctg}\sqrt{3}=\frac{\pi }{3}\]

Найдем значение \text{arctg}\left( -1 \right). Учитывая, что арктангенс нечетная функция, получим

    \[\text{arctg}\ \left( -1 \right)=-\text{arctg}1\]

Значение \text{arctg}1 найдем по таблице значений тангенсов. По ней значению \text{tg}\alpha =1 соответствует угол \alpha =\frac{\pi }{4}. Таким образом \text{arctg}\ \left( -1 \right)=-\frac{\pi }{4}.

Ответ \text{arctg}\sqrt{3}=\frac{\pi }{3}, \quad \text{arctg}\ \left( -1 \right)=-\frac{\pi }{4}
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Арккотангенсом числа x называются такое число \alpha из промежутка \left( 0;\pi  \right), что \text{ctg}\alpha =x.

Для функции арккотангенс справедливо следующее равенство

    \[\text{arcctg}\left( -x \right)=\pi -\text{arcctg}x\]

ПРИМЕР 4
Задание Найти значения обратных тригонометрических функций:

    \[ \text{arcctg}\left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right) \text{ },\text{ } \text{arcctg}\left( -\sqrt{3} \right) \]

Решение Начнем с определения значения первого арккотангенса.

По определению арккотангенса необходимо найти такой угол \alpha из промежутка \left( 0;\pi  \right), что \text{ctg}\alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}. Воспользуемся таблицей значений котангенса.

Найдем в ней значение \text{ctg}\alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}, этому значению соответствует угол \alpha =\frac{\pi }{3}. Найденный угол принадлежит промежутку \left( 0;\pi  \right). Таким образом,

    \[\text{arcctg}\left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)=\frac{\pi }{3}\]

Для нахождения значения \text{arcctg}\left( -\sqrt{3} \right) воспользуемся равенством

    \[\text{arcctg}\left( -x \right)=\pi -\text{arcctg}x\]

В нашем случае оно примет вид

    \[\text{arctg}\left( -\sqrt{3} \right)=\pi -\text{arctg}\sqrt{3}\]

Теперь осталось определить значение \text{arcctg}\sqrt{3}. Как и в предыдущем случае, воспользуемся для этого таблицей значений котангенса. Значению \text{ctg}\alpha =\sqrt{3} соответствует угол \alpha =\frac{\pi }{6}, он принадлежит промежутку \left( 0;\pi  \right), тогда \text{arcctg}\sqrt{3}=\frac{\pi }{6}. Возвращаясь к последнему равенству, окончательно получим

    \[\text{arcctg}\left( -\sqrt{3} \right)=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}\]

Ответ

Для вычисления значений обратных тригонометрических функций можно пользоваться таблицей

Основные соотношения между обратными тригонометрическими функциями


Примеры решения задач

ПРИМЕР 5
Задание Вычислить \cos \ \left( \arcsin \frac{1}{4} \right)
Решение По следствию из основного тригонометрического тождества, выразим косинус через синус

    \[\cos \alpha =\pm \sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }\]

Будем брать корень со знаком «+», так как \arcsin \frac{1}{4} определяет угол из первой четверти тригонометрического круга, а в первой четверти косинус принимает положительные значения. Тогда

    \[\cos \ \left( \arcsin \frac{1}{4} \right)=\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\left( \arcsin \frac{1}{4} \right)}\]

Учитывая, что \sin \left( \arcsin x \right)=x,\quad x\in \left[ -1;\ 1 \right]; получим

    \[\cos \ \left( \arcsin \frac{1}{4} \right)=\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\left( \arcsin \frac{1}{4} \right)}=\sqrt{1-{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{2}}}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\sqrt{\frac{16-1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}\]

Ответ \cos \ \left( \arcsin \frac{1}{4} \right)=\frac{\sqrt{15}}{4}
ПРИМЕР 6
Задание Вычислить \sin \left( \arccos \ \left( -\frac{4}{5} \right) \right)
Решение Учитывая равенство: \arccos \ \left( -x \right)=\pi -\arccos x, получим

    \[\sin \left( \arccos \ \left( -\frac{4}{5} \right) \right)=\sin \left( \pi -\arccos \frac{4}{5} \right)\]

Далее применим к синусу формулы приведения, согласно которым \sin \left( \pi -\alpha  \right)=\sin \alpha. Получим

    \[\sin \ \left( \arccos \left( -\frac{4}{5} \right) \right)=\sin \ \left( \pi -\arccos \frac{4}{5} \right)=\sin \left( \arccos \frac{4}{5} \right)\]

Далее, по следствию из основного тригонометрического тождества, выразим синус через косинус

    \[\sin \alpha =\pm \sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }\]

В нашем случае корень будет со знаком «+», так как \arccos \frac{4}{5} определяет угол из первой четверти тригонометрического круга, а в первой четверти синус принимает положительные значения. Тогда

    \[\sin \left( \arccos \ \left( -\frac{4}{5} \right) \right)=\sin \left( \arccos \frac{4}{5} \right)=\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\left( \arccos \frac{4}{5} \right)}\]

Учитывая, что \cos \left( \arccos x \right)=x,\quad x\in \left[ -1;\ 1 \right]; получим

    \[\sin \left( \arccos \ \left( -\frac{4}{5} \right) \right)=\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\left( \arccos \frac{4}{5} \right)}=\sqrt{1-{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{2}}}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{25-16}{16}}=\frac{3}{4}\]

Ответ \sin \left( \arccos \ \left( -\frac{4}{5} \right) \right)=\frac{3}{4}
ПРИМЕР 7
Задание Вычислить \cos \ \left( 2\arcsin \frac{1}{6} \right)
Решение Рассмотрим это выражение как синус двойного угла, тогда для него справедлива формула: \cos 2\alpha =1-2{{\sin }^{2}}\alpha. Тогда исходное выражение примет вид

    \[\cos \ \left( 2\arcsin \frac{1}{6} \right)=1-2{{\sin }^{2}}\left( \arcsin \frac{1}{6} \right)\]

Далее так как \sin \left( \arcsin x \right)=x, при x\in \left[ -1;\ 1 \right], то

    \[\cos \ \left( 2\arcsin \frac{1}{6} \right)=1-2{{\sin }^{2}}\left( \arcsin \frac{1}{6} \right)=1-2\cdot {{\left( \frac{1}{6} \right)}^{2}}=1-\frac{2}{36}=1-\frac{1}{18}=\frac{17}{18}\]

Ответ \cos \ \left( 2\arcsin \frac{1}{6} \right)=\frac{17}{18}
ПРИМЕР 8
Задание Вычислить \text{ctg}\ \left( \arccos \frac{3}{5} \right)
Решение По определению \text{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }, тогда

    \[\text{ctg}\ \left( \arccos \frac{3}{5} \right)=\frac{\cos \ \left( \arccos \frac{3}{5} \right)}{\sin \left( \arccos \frac{3}{5} \right)}\]

Так как \cos \left( \arccos x \right)=x, при x\in \left[ -1;\ 1 \right], то числитель полученной дроби примет вид

    \[\text{ctg}\ \left( \arccos \frac{3}{5} \right)=\frac{\cos \ \left( \arccos \frac{3}{5} \right)}{\sin \left( \arccos \frac{3}{5} \right)}=\frac{\frac{3}{5}}{\sin \left( \arccos \frac{3}{5} \right)}\]

К знаменателю этого выражения применим следствие из основного тригонометрического тождества и выразим синус через косинус (\sin \alpha =\pm \sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }).

    \[\text{ctg}\ \left( \arccos \frac{3}{5} \right)=\frac{\frac{3}{5}}{\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\left( \arccos \frac{3}{5} \right)}}\]

Далее, учитывая, что \cos \left( \arccos x \right)=x, при x\in \left[ -1;\ 1 \right], получим

    \[\text{ctg}\ \left( \arccos \frac{3}{5} \right)=\frac{\frac{3}{5}}{\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\left( \arccos \frac{3}{5} \right)}}=\frac{3}{5}\div \sqrt{1-{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{2}}}=\frac{3}{5}\div \sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}\div \frac{4}{5}=\frac{3}{4}\]

Ответ \text{ctg}\ \left( \arccos \frac{3}{5} \right)=\frac{3}{4}
ПРИМЕР 9
Задание Вычислить \cos \ \left( \text{arctg}\frac{1}{2} \right)
Решение Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник (рис. 3). По определению \text{tg}\alpha =\frac{b}{a}, а арктангенс тогда равен \text{arctg}\frac{b}{a}=\alpha. Если найдем косинусы обеих частей равенства \text{arctg}\frac{b}{a}=\alpha, получим \cos \ \left( \text{arctg}\frac{b}{a} \right)=\cos \alpha. Из исходного выражения следует, что

    \[\frac{b}{a}=\frac{1}{2}\quad \Rightarrow \quad b=1,\quad a=2\]

Рис. 3

По теореме Пифагора найдем гипотенузу:

    \[{{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}};   \Rightarrow  {{c}^{2}}={{2}^{2}}+{{1}^{2}};   \Rightarrow  {{c}^{2}}=5 \Rightarrow  c=\sqrt{5}\]

По определению, \cos \alpha =\frac{a}{c} \Rightarrow  \cos \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}.

Ответ \cos \left( \text{arctg}\frac{1}{2} \right)=\frac{2}{\sqrt{5}}