Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Основное тригонометрическое тождество

Основное тригонометрическое тождество связывает синус и косинус одного и того же угла. Сформулируем его: для любого угла \alpha справедливо:

    \[ {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1 \]

Рис. 1

Доказательство тождества

Рассмотрим тригонометрическую окружность (рис. 1). Выберем произвольный угол \alpha, тогда \cos \alpha ={{x}_{0}}=OB, а \sin \alpha ={{y}_{0}}=AB. В \Delta ABO \quad AO=1, как радиус единичной окружности. Так как треугольник \Delta ABO прямоугольный, то для него можно записать теорему Пифагора:

    \[O{{B}^{2}}+A{{B}^{2}}=A{{O}^{2}}\]

Учитывая, что OB=\cos \alpha, AB=\sin \alpha и AO=1, получаем

    \[{{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\]

Что и требовалось доказать.

Следствие 1. Основное тригонометрическое тождество позволяет находить синус угла по известному косинусу или, наоборот, косинус угла по известному синусу. Справедливы формулы

    \[\cos \alpha =\pm \sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }; \qquad  \sin \alpha =\pm \sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }\]

Но для определения знака искомой тригонометрической функции требуется дополнительная информация о величине угла (например, в какой четверти расположен угол \alpha).

Следствие 2. Из основного тригонометрического тождества можно вывести две формулы, связывающие соответственно косинус с тангенсом и синус с котангенсом.

1. Пусть \alpha \ne \frac{\pi }{2}+\pi n, \quad \left( n\in Z \right) тогда \cos \alpha \ne 0. Разделим обе части основного тригонометрического тождества на {{\cos }^{2}}\alpha:

    \[\frac{{{\sin }^{2}}\alpha }{{{\cos }^{2}}\alpha }+\frac{{{\cos }^{2}}\alpha }{{{\cos }^{2}}\alpha }=\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha } \]

после преобразования получим

    \[{\text{tg}}^{2}}\alpha +1=\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }\]

2. Пусть \alpha \ne \pi n, \left( n\in Z \right) тогда \sin \alpha \ne 0. Разделим обе части основного тригонометрического тождества на {{\sin }^{2}}\alpha:

    \[\frac{{{\sin }^{2}}\alpha }{{{\sin }^{2}}\alpha }+\frac{{{\cos }^{2}}\alpha }{{{\sin }^{2}}\alpha }=\frac{1}{{{\sin }^{2}}\alpha } \]

после преобразования получим

    \[1+{\text{ctg}}^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\sin }^{2}}\alpha }\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти значение \cos \alpha, если \sin \alpha =\frac{3}{5} и 0<\alpha< \frac{\pi }{2}
Решение По следствию 1 из основного тригонометрического тождества имеем

    \[\cos \alpha =\pm \sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }\]

Подставляя в эту формулу заданное значение \sin \alpha =\frac{3}{5}, получаем

    \[\cos \alpha =\pm \sqrt{1-{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{2}}}=\pm \sqrt{1-\frac{9}{25}}=\pm \sqrt{\frac{25-9}{25}}=\pm \sqrt{\frac{16}{25}}=\pm \frac{4}{5}\]

Рис. 2

Далее для определения знака косинуса, используем дополнительное условие, что 0<\alpha<\frac{\pi }{2}. Значит, угол \alpha находится в первой четверти тригонометрического круга (рис. 2), а здесь \cos \alpha>0. Таким образом, окончательно получим

    \[\cos \alpha =\frac{4}{5}\]

Ответ \cos \alpha =\frac{4}{5}
ПРИМЕР 2
Задание Найти значение \sin \alpha, если \cos \alpha =-\frac{1}{3} и \frac{\pi }{2}<\alpha <\pi
Решение По следствию 1 из основного тригонометрического тождества, для нахождения синуса справедлива формула

    \[\sin \alpha =\pm \sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }\]

Подставляем в неё заданное значение \cos \alpha =-\frac{1}{3}, получим

    \[\sin \alpha =\pm \sqrt{1-{{\left( -\frac{1}{3} \right)}^{2}}}=\pm \sqrt{1-\frac{1}{9}}=\pm \sqrt{\frac{9-1}{9}}=\pm \sqrt{\frac{8}{9}}=\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}\]

Рис. 3

Далее для определения знака искомого значения синуса, воспользуемся дополнительным условием о расположении угла: \frac{\pi }{2}<\alpha <\pi. Угол \alpha лежит во второй четверти тригонометрического круга (рис. 3), поэтому углу соответствуют только положительные значения синуса, поэтому окончательно:

    \[\sin \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}\]

Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Вычислить \sin \alpha и \cos \alpha, если \text{tg}\alpha =3 и \pi<\alpha<\frac{3\pi }{2}
Решение По следствию 2, тангенс и косинус одного и того же угла связаны соотношением:

    \[{\text{tg}}^{2}}\alpha +1=\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }\]

Выразим из него косинус:

    \[{{\cos }^{2}}\alpha =\frac{1}{{\text{tg}}^{2}\alpha +1}\]

Подставляя в это равенство заданное значение \text{tg}\alpha =3, получим

    \[{{\cos }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{3}^{2}}+1}=\frac{1}{10}\quad \Rightarrow \quad \cos \alpha =\pm \frac{1}{\sqrt{10}}\]

Рис. 4

По первому следствию из основного тригонометрического тождества

    \[\sin \alpha =\pm \sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha } \]

а тогда

    \[\sin \alpha =\pm \sqrt{1-\frac{1}{10}}=\pm \sqrt{\frac{10-1}{10}}=\pm \sqrt{\frac{9}{10}}=\pm \frac{3}{\sqrt{10}}\]

Для определения знаков синуса и косинуса, воспользуемся дополнительными условиями. Так как \pi<\alpha<\frac{3\pi }{2}, следовательно, угол \alpha лежит в третьей четверти (рис. 4), там косинус и синус отрицательные. Тогда окончательно, получим

    \[\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{10}}; \text{ } \sin \alpha =-\frac{3}{\sqrt{10}}\]

Ответ
ПРИМЕР 4
Задание Вычислить \sin \alpha, \cos \alpha и \text{tg}\alpha, если \text{tg}\alpha =-\frac{5}{12} и -\frac{\pi }{2}<\alpha<0
Решение Сразу можно найти тангенс:

    \[\text{tg}\alpha =\frac{1}{\text{ctg}\alpha }\quad \Rightarrow \quad \text{tg}\alpha =\frac{1}{-\frac{5}{12}}=-\frac{12}{5}\]

По следствию 2 из основного тригонометрического тождества, котангенс и синус связаны соотношением:

    \[1+{\text{ctg}}^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\sin }^{2}}\alpha }\]

Выразим из него синус:

    \[{{\sin }^{2}}\alpha =\frac{1}{{\text{ctg}}^{2}\alpha +1}\]

Подставляя в это равенство, заданное значение \text{ctg}\alpha =-\frac{5}{12}, получим

    \[{{\sin }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\left( -\frac{5}{12} \right)}^{2}}+1}=\frac{1}{\frac{25}{144}+1}=\frac{144}{25+144}=\frac{144}{169} \]

    \[\sin \alpha =\pm \sqrt{\frac{144}{169}}=\pm \frac{12}{13}\]

По первому следствию из основного тригонометрического тождества,

    \[\cos \alpha =\pm \sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }\]

найдем косинус

    \[\cos \alpha =\pm \sqrt{1-\frac{144}{169}}=\pm \sqrt{\frac{169-144}{169}}=\pm \sqrt{\frac{25}{169}}=\pm \frac{5}{13}\]

Рис. 5

Для определения знаков синуса и косинуса, воспользуемся дополнительными условиями. Угол \alpha лежит в пределах -\frac{\pi }{2}<\alpha <0, следовательно, он принадлежит четвертой четверти (рис. 5), там косинус положительный, а синус отрицательный. Окончательно, получим

    \[\sin \alpha =-\frac{12}{13}; \qquad \cos \alpha =\frac{5}{13}\]

Ответ

Основное тригонометрическое тождество, так же используется при тождественных преобразованиях.

ПРИМЕР 5
Задание Вычислить {{\sin }^{4}}\alpha +{{\sin }^{2}}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha
Решение Сгруппируем первые два слагаемые заданного равенства и вынесем за скобки общий множитель {{\sin }^{2}}\alpha:

    \[{{\sin }^{4}}\alpha +{{\sin }^{2}}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha ={{\sin }^{2}}\alpha \cdot \left( {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha  \right)-{{\sin }^{2}}\alpha  \]

полученное выражение в скобках есть основное тригонометрическое тождество и равно 1:

    \[{{\sin }^{4}}\alpha +{{\sin }^{2}}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha ={{\sin }^{2}}\alpha \cdot 1-{{\sin }^{2}}\alpha =0\]

Ответ {{\sin }^{4}}\alpha +{{\sin }^{2}}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha =0